Latihan Soal Matematika dan Fisika Gerhana Matahari

Daftar soal beserta jawaban dan pembahasannya. Coba kerjakan dulu di atas sebelum membuka pembahasan.

1. Bulan baru terjadi kira-kira setiap $29{,}5$ hari, tetapi gerhana Matahari tidak terjadi setiap bulan baru. Penyebab utamanya adalah ...

   1. Bidang orbit Bulan miring sekitar $5^\circ$ terhadap bidang orbit Bumi (ekliptika), sehingga saat bulan baru bayangan Bulan biasanya lewat di atas atau di bawah Bumi.

   2. Bulan terlalu kecil dibandingkan Matahari sehingga bayangannya jarang sampai ke Bumi.

   3. Orbit Bulan berbentuk lingkaran sempurna sehingga Bulan jarang segaris dengan Matahari.

   4. Bumi berotasi terlalu cepat sehingga bayangan Bulan tidak sempat jatuh ke permukaan.

   Lihat jawaban & pembahasan

   Jawaban: A

   Gerhana Matahari butuh dua syarat: fase bulan baru dan Bulan berada dekat bidang ekliptika. Bidang orbit Bulan miring rata-rata $5{,}145^\circ$ terhadap ekliptika, sehingga pada kebanyakan bulan baru Bulan berada beberapa derajat di utara atau selatan Matahari dan bayangannya meleset dari Bumi. Gerhana hanya mungkin saat bulan baru jatuh dekat titik simpul (perpotongan kedua bidang), yaitu pada musim gerhana sekitar dua kali setahun.

   Pengecoh b salah: ukuran sudut Bulan dan Matahari hampir sama, dan ukuran tidak menjelaskan mengapa gerhana kadang terjadi dan kadang tidak. Pengecoh c salah: orbit Bulan justru elips, dan bentuk orbit menentukan jenis gerhana (total/cincin), bukan frekuensinya. Pengecoh d salah: rotasi Bumi hanya menggeser jalur bayangan di permukaan.

   Cek: andaikan kemiringan $0^\circ$, Bulan selalu tepat di ekliptika sehingga setiap bulan baru akan menghasilkan gerhana; karena kenyataannya tidak, kemiringan orbitlah pembedanya.

2. Diameter Bulan sekitar $3.475\ \text{km}$ dan jarak rata-ratanya dari Bumi sekitar $384.400\ \text{km}$. Dengan pendekatan sudut kecil $\theta \approx \dfrac{D}{d}$ (dalam radian), diameter sudut Bulan yang tampak dari Bumi kira-kira ...

   1. $0{,}52^\circ$

   2. $0{,}26^\circ$

   3. $0{,}009^\circ$

   4. $1{,}04^\circ$

   Lihat jawaban & pembahasan

   Jawaban: A

   Langkah 1, hitung sudut dalam radian:

   $$\theta \approx \frac{D}{d} = \frac{3.475\ \text{km}}{384.400\ \text{km}} \approx 0{,}00904\ \text{rad}.$$

   Langkah 2, ubah ke derajat dengan $1\ \text{rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}$:

   $$\theta \approx 0{,}00904 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 0{,}52^\circ.$$

   Jadi diameter sudut Bulan sekitar $0{,}52^\circ$, hampir sama dengan Matahari (sekitar $0{,}53^\circ$).

   Pengecoh b ($0{,}26^\circ$) adalah jari-jari sudut, karena memakai jari-jari, bukan diameter. Pengecoh c ($0{,}009^\circ$) muncul bila hasil radian langsung dianggap derajat. Pengecoh d ($1{,}04^\circ$) muncul bila hasil digandakan dua kali.

   Cek: dengan rumus eksak $\theta = 2\arctan\left(\dfrac{1.737{,}5}{384.400}\right) \approx 0{,}518^\circ$, sama dengan hasil pendekatan sampai dua angka desimal.

3. Satu siklus Saros lamanya sekitar $6.585{,}32$ hari. Setelah satu Saros, geometri Matahari–Bumi–Bulan hampir berulang, tetapi kelebihan $0{,}32$ hari membuat jalur gerhana berikutnya bergeser. Bumi berotasi $360^\circ$ per hari dari barat ke timur. Pergeseran jalur gerhana berikutnya kira-kira ...

   1. sekitar $116^\circ$ bujur ke arah barat

   2. sekitar $116^\circ$ bujur ke arah timur

   3. sekitar $32^\circ$ bujur ke arah barat

   4. sekitar $8^\circ$ bujur ke arah barat

   Lihat jawaban & pembahasan

   Jawaban: A

   Langkah 1, kelebihan waktu setelah satu Saros adalah $0{,}32$ hari (sekitar 8 jam). Langkah 2, sudut rotasi Bumi selama waktu itu:

   $$\Delta\lambda = 0{,}32 \times 360^\circ \approx 116^\circ.$$

   Langkah 3, arah: gerhana berikutnya terjadi sekitar 8 jam lebih lambat menurut jam. Karena Bumi berputar ke timur, dalam 8 jam itu wilayah yang semula menghadap posisi gerhana sudah bergeser ke timur, sehingga bayangan jatuh di wilayah yang lebih ke barat. NASA menyebut pergeseran ini sekitar $120^\circ$ ke barat (dengan pembulatan).

   Pengecoh b salah arah. Pengecoh c muncul bila $0{,}32$ dikali 100, bukan 360. Pengecoh d muncul bila jumlah jam (sekitar 8) dianggap derajat.

   Cek: tiga Saros memberi pergeseran sekitar $3 \times 116^\circ \approx 348^\circ$, hampir satu putaran penuh, sehingga gerhana kembali ke wilayah yang mirip setelah sekitar 54 tahun, sesuai keterangan NASA.

4. Bulan sinodis (bulan baru ke bulan baru) $S = 29{,}5306$ hari, sedangkan bulan drakonik (simpul ke simpul yang sama) $D = 27{,}2122$ hari. Bulan baru dan simpul orbit kembali bertemu setiap

   $$T = \frac{S \cdot D}{S - D}$$

   (disebut tahun gerhana). Karena ada dua simpul, musim gerhana terjadi setiap $\tfrac{T}{2}$. Berapa hari selang antara dua musim gerhana berurutan? Tulis jawaban dalam hari dengan satu angka desimal.

   Lihat jawaban & pembahasan

   Jawaban: 173.3 / 173,3

   Langkah 1, hitung selisih periode:

   $$S - D = 29{,}5306 - 27{,}2122 = 2{,}3184\ \text{hari}.$$

   Langkah 2, hitung tahun gerhana:

   $$T = \frac{29{,}5306 \times 27{,}2122}{2{,}3184} = \frac{803{,}594}{2{,}3184} \approx 346{,}6\ \text{hari}.$$

   Langkah 3, karena ada simpul naik dan simpul turun, selang antar-musim gerhana:

   $$\frac{T}{2} \approx 173{,}3\ \text{hari}.$$

   Kesalahan umum: menjawab $346{,}6$ (lupa ada dua simpul), atau menjawab $182{,}6$ (setengah tahun kalender), padahal simpul orbit Bulan bergeser ke barat sehingga musim gerhana datang sedikit lebih cepat dari setengah tahun.

   Cek: NASA menyebut rata-rata waktu Matahari bergerak dari satu simpul ke simpul lain adalah $173{,}3$ hari, sama dengan hasil ini.

5. Kerucut bayangan inti (umbra) Bulan memiliki panjang

   $$L = d\,\frac{r}{R - r},$$

   dengan $d \approx 1{,}5 \times 10^{8}\ \text{km}$ (jarak Matahari–Bulan), $r = 1.737\ \text{km}$ (jari-jari Bulan), dan $R = 695.700\ \text{km}$ (jari-jari Matahari). Saat Bulan di apogee, jarak dari Bulan ke permukaan Bumi yang terdekat sekitar $399.000\ \text{km}$. Jenis gerhana sentral yang teramati saat itu adalah ...

   1. Gerhana Matahari cincin, karena umbra tidak sampai ke permukaan Bumi.

   2. Gerhana Matahari total, karena umbra lebih panjang dari jarak Bulan ke Bumi.

   3. Gerhana Matahari total, karena Bulan lebih dekat ke Bumi daripada Matahari.

   4. Tidak ada gerhana sama sekali, karena umbra tidak sampai ke Bumi.

   Lihat jawaban & pembahasan

   Jawaban: A

   Langkah 1, hitung panjang umbra:

   $$L = 1{,}5 \times 10^{8} \times \frac{1.737}{695.700 - 1.737} = 1{,}5 \times 10^{8} \times \frac{1.737}{693.963} \approx 3{,}75 \times 10^{5}\ \text{km}.$$

   Langkah 2, bandingkan: $L \approx 375.000\ \text{km} < 399.000\ \text{km}$. Ujung umbra berhenti sekitar $24.000\ \text{km}$ sebelum permukaan Bumi. Pengamat di garis pusat berada dalam perpanjangan kerucut (antumbra) dan melihat Bulan sedikit lebih kecil daripada Matahari, sehingga tepi Matahari tampak seperti cincin.

   Pengecoh b salah karena perbandingannya terbalik. Pengecoh c salah: Bulan memang lebih dekat, tetapi yang menentukan adalah apakah umbra sampai ke permukaan. Pengecoh d salah: penumbra tetap mengenai Bumi, dan antumbra menghasilkan gerhana cincin.

   Cek: ukuran sudut Bulan $\approx 2\arctan(1.737/399.000) \approx 0{,}499^\circ$, lebih kecil dari Matahari ($\approx 0{,}53^\circ$), jadi memang cincin.