Vektor Tiga Dimensi dan Usaha sebagai Hasil Kali Titik

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan menentukan panjang vektor tiga dimensi, membentuk vektor satuan, menghitung hasil kali titik, dan menggunakannya untuk usaha gaya konstan. Prasyaratnya adalah koordinat Kartesius, teorema Pythagoras, sinus–kosinus, serta definisi usaha. Kita memakai basis ortonormal: tiga arah sumbu saling tegak lurus dan setiap vektor basis panjangnya satu. Gaya dan perpindahan ditulis dalam kerangka yang sama.

Komponen bukan panjang vektor

Vektor $\vec r=(r_x,r_y,r_z)$ mempunyai tiga komponen. Untuk perpindahan, setiap komponen bersatuan meter. Bentuk $\vec r=r_x\hat i+r_y\hat j+r_z\hat k$ memakai vektor satuan basis, yang menyatakan arah sumbu x, y, dan z. Panjang vektor, ditulis $|\vec r|$, adalah $\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}$. Kita mengkuadratkan komponen karena ketiga arah tegak lurus; menjumlahkan komponen biasa tidak memberi panjang.

Vektor satuan searah $\vec r$ ialah $\hat r=\vec r/|\vec r|$ untuk vektor yang tidak nol. Komponennya tanpa satuan karena panjang dibagi panjang. Vektor satuan membantu memisahkan besar dari arah: $\vec r=|\vec r|\hat r$. Vektor nol tidak mempunyai arah tunggal, sehingga normalisasi vektor nol tidak terdefinisi.

Hasil kali titik sebagai ukuran keselarasan

Hasil kali titik adalah $\vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=|\vec A||\vec B|\cos\theta$. Sudut $\theta$ adalah sudut antara kedua vektor. Hasilnya skalar, dengan satuan hasil kali satuan A dan B. Nilai positif menunjukkan komponen searah yang dominan, nol menunjukkan tegak lurus untuk dua vektor tidak nol, dan negatif menunjukkan sudut tumpul.

Proyeksi skalar $\vec A$ sepanjang arah satuan $\hat u$ adalah $\vec A\cdot\hat u$. Proyeksi vektornya adalah $(\vec A\cdot\hat u)\hat u$. Bedakan angka bertanda pada proyeksi skalar dari panah pada proyeksi vektor. Mengubah sudut kamera tidak mengubah vektor fisik; rotasi pandangan hanya membantu melihat hubungan ruang. Bahkan jika basis benar-benar diputar secara ortogonal, panjang dan hasil kali titik tetap sama, walaupun angka komponen dapat berubah.

Contoh 1: vektor pada visual

Anggap panah oranye mewakili perpindahan $\vec r=(1,2,2)$ m. Panjangnya $\sqrt{1+4+4}=3$ m. Maka $\hat r=(1/3,2/3,2/3)$, tanpa satuan. Cek normalisasi: $(1/3)^2+(2/3)^2+(2/3)^2=1$. Sudut terhadap sumbu x positif memenuhi $\cos\alpha=1/3$, sehingga sekitar 70,53°. Terhadap y dan z positif, kosinusnya 2/3 dan sudutnya masing-masing sekitar 48,19°. Ketiga sudut ini bukan sudut interior segitiga dan tidak harus berjumlah 180°.

Contoh 2: usaha dalam ruang

Gaya konstan $\vec F=(4,-1,2)$ N memindahkan benda sebesar $\Delta\vec r=(1,2,2)$ m. Hitung $W=\vec F\cdot\Delta\vec r=4(1)+(-1)(2)+2(2)=6$ J. Komponen y memberi −2 J karena gaya dan perpindahan di arah itu berlawanan. Cek menggunakan proyeksi: gaya sepanjang arah perpindahan adalah $\vec F\cdot\hat r=2$ N, lalu $W=2(3)=6$ J. Panjang gaya $\sqrt{21}$ N, sehingga $\cos\theta=6/(3\sqrt{21})\approx0{,}436$ dan sudut sekitar 64,12°, konsisten dengan usaha positif.

Batas penerapan dan kekeliruan

Rumus usaha hasil kali titik ini memakai gaya konstan sepanjang perpindahan. Jika gaya berubah, gunakan integral garis, bukan mengganti gaya dengan nilai akhir tanpa alasan. Hasil kali titik berbeda dari hasil kali silang; usaha adalah skalar, sedangkan torsi merupakan vektor. Hasil kali titik nol juga dapat disebabkan salah satu vektor nol, jadi jangan langsung menyimpulkan sudut 90° tanpa memeriksa kedua panjang.

Ringkasan dan cek mandiri

Panjang berasal dari jumlah kuadrat; arah satuan berasal dari pembagian oleh panjang. Hasil kali titik memilih komponen sepanjang arah lain. Untuk gaya (2,0,0) N dan perpindahan (0,3,0) m, usaha nol walaupun kedua vektor tidak nol. Jelaskan geometrinya, lalu periksa bahwa satuan N·m tetap bermakna joule meskipun nilai numeriknya nol.

Sumber belajar

• OpenStax University Physics Volume 1 — Products of Vectors

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.