Usaha Gaya Berubah: Integral dan Teorema Energi Kinetik

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan menghitung usaha gaya bergantung posisi, memeriksa hasil dengan luas grafik, dan menentukan perubahan kelajuan menggunakan teorema usaha–energi. Prasyaratnya adalah integral polinomial, hukum II Newton, hasil kali titik, dan energi kinetik. Kita membahas partikel bermassa tetap dalam kerangka inersial, gerak satu dimensi, serta gaya yang dinyatakan sebagai fungsi posisi dalam interval tertentu.

Mengapa gaya akhir tidak cukup?

Untuk gaya konstan, usaha dapat dihitung dengan $W=F\Delta x$ jika arah sudah masuk dalam tanda. Ketika gaya berubah, setiap bagian lintasan menerima gaya berbeda. Bagi lintasan menjadi potongan kecil $\Delta x_i$. Usaha potongan mendekati $F(x_i)\Delta x_i$. Dalam limit potongan sangat kecil, jumlahnya menjadi $W=\int_{x_i}^{x_f}F(x)\,dx$.

F dalam N dan dx dalam m menghasilkan usaha dalam J. Integral ini adalah luas bertanda di bawah grafik gaya terhadap posisi. Daerah di atas sumbu memberi kontribusi positif untuk perjalanan dari x kecil ke besar; daerah di bawahnya memberi kontribusi negatif. Jika batas integrasi dibalik, tanda integral berbalik. Karena itu, usaha tidak sama dengan semua luas geometris yang selalu positif.

Untuk gerak ruang, bentuk umumnya $W=\int\vec F\cdot d\vec r$. Pelajaran ini membatasi lintasan pada sumbu x, sehingga bentuk satu dimensi cukup. Jika yang diintegralkan adalah satu gaya, hasilnya usaha gaya itu saja. Untuk perubahan energi kinetik, gunakan usaha total seluruh gaya eksternal pada partikel.

Menghubungkan integral dengan energi kinetik

Teorema usaha–energi menyatakan $W_{\text{net}}=K_f-K_i$, dengan $K=\tfrac12mv^2$. Secara singkat, hukum II Newton memberi $F_{\text{net}}=m\,dv/dt$. Sepanjang gerak yang dapat diparameterkan oleh posisi, $dv/dt=v\,dv/dx$, sehingga $F_{\text{net}}dx=mv\,dv$. Integrasi menghasilkan perubahan $\tfrac12mv^2$. Teorema ini menghindari pencarian waktu bila kita hanya membutuhkan kelajuan setelah menempuh interval posisi.

Contoh 1: gaya linear bertambah

Resultan gaya adalah $F(x)=(2\text{ N/m})x+1\text{ N}$ dari x = 0 sampai x = 3 m. Kita menulis singkat $F(x)=2x+1$ jika angka x dimasukkan dalam meter dan keluaran dalam newton. Usaha $W=\int_0^3(2x+1)dx=[x^2+x]_0^3=12$ J. Cek luas trapesium: gaya awal 1 N dan akhir 7 N, sehingga $W=\tfrac12(1+7)(3)=12$ J. Massa 2 kg mula-mula diam, maka $\tfrac12(2)v_f^2=12$ dan $v_f=\sqrt{12}\approx3{,}464$ m/s. Nilai gaya akhir dikali perpindahan memberi 21 J dan terlalu besar.

Contoh 2: gaya pegas yang melawan perpindahan

Pegas ideal k = 4 N/m melakukan gaya $F_s=-4x$ saat benda bergerak dari x = 0 ke x = 0,5 m. Usaha pegas $W_s=\int_0^{0{,}5}-4x\,dx=[-2x^2]_0^{0{,}5}=-0{,}5$ J. Cek luas segitiga bertanda: gaya akhir −2 N, alas 0,5 m, sehingga $W_s=-\tfrac12(0{,}5)(2)=-0{,}5$ J. Jika pegas satu-satunya gaya yang melakukan usaha dan energi kinetik awal 1 J, energi kinetik akhir 0,5 J. Untuk massa 1 kg, kelajuan akhir 1 m/s. Energi potensial pegas naik 0,5 J, konsisten dengan usaha pegas yang negatif.

Kekeliruan umum

Gaya rata-rata bukan selalu rata-rata nilai awal dan akhir. Cara trapesium tepat untuk fungsi linear, tetapi fungsi melengkung perlu integral atau pendekatan yang sesuai. Teorema energi menentukan kelajuan, bukan otomatis arah kecepatan. Jika perhitungan menghasilkan energi kinetik negatif, posisi akhir tidak dapat dicapai dengan kondisi awal yang diberikan; jangan mengambil akar nilai negatif lalu menganggapnya kelajuan fisik.

Ringkasan dan cek mandiri

Tulis fungsi beserta satuan koefisien, batas posisi, dan gaya yang dihitung. Untuk $F(x)=3x$ N dengan x dalam m, dari 0 hingga 2 m, usaha 6 J. Periksa lewat segitiga dan jelaskan mengapa $F(2)\times2$ memberi hasil dua kali terlalu besar.

Sumber belajar

• OpenStax University Physics Volume 1 — Work
• OpenStax University Physics Volume 1 — Kinetic Energy

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.