Osilasi Harmonik Sederhana: Fase, Turunan, dan Energi

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan menghubungkan gaya pemulih dengan persamaan osilasi, menentukan periode dan frekuensi, serta memperoleh kecepatan dan percepatan dari turunan posisi. Prasyaratnya adalah kalkulus dasar, trigonometri dalam radian, hukum II Newton, dan energi pegas. Kita memakai pegas ideal linear, massa tetap, tanpa redaman atau gaya penggerak luar, dan posisi diukur dari titik setimbang.

Dari gaya pemulih ke persamaan gerak

Gaya pegas relatif terhadap titik setimbang adalah $F=-kx$. Konstanta k bersatuan N/m dan x dalam meter. Tanda negatif menyatakan gaya menuju titik setimbang, berlawanan dengan simpangan. Hukum II Newton memberi $m\ddot x=-kx$, atau $\ddot x+\omega^2x=0$, dengan $\omega=\sqrt{k/m}$. Dua titik di atas x berarti turunan kedua terhadap waktu, yaitu percepatan.

Solusi umumnya $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$. A adalah amplitudo maksimum dalam m, $\omega$ frekuensi sudut dalam rad/s, dan $\phi$ fase awal dalam radian. Visual menggunakan $\phi=0$, jadi benda mulai pada $x=A$ dengan kecepatan nol. Solusi ini bukan keadaan awal paling umum; memilih fase nol berarti kita sudah menentukan cara awal geraknya.

Periode $T=2\pi/\omega$ bersatuan sekon. Frekuensi biasa $f=1/T=\omega/(2\pi)$ bersatuan hertz, Hz. Frekuensi sudut 2 rad/s tidak sama dengan 2 Hz, karena satu putaran fase lengkap memerlukan $2\pi$ radian. Dalam model pegas linear ini, mengubah amplitudo tidak mengubah periode jika k dan m tetap.

Turunan menjelaskan perubahan gerak

Untuk fase nol, $v=\dot x=-A\omega\sin(\omega t)$ dan $a=\ddot x=-A\omega^2\cos(\omega t)=-\omega^2x$. Kelajuan maksimum $A\omega$ terjadi saat melewati titik setimbang. Besar percepatan maksimum $A\omega^2$ terjadi di simpangan ekstrem. Di ekstrem, kecepatan nol tetapi percepatan tidak nol. Di titik setimbang, percepatan nol tetapi kelajuan justru maksimum. Dua pernyataan ini sering tertukar.

Energi total $E=\tfrac12mv^2+\tfrac12kx^2=\tfrac12kA^2$ tetap untuk model tanpa redaman. Energi kinetik dan potensial saling bertukar. Pada sistem nyata dengan gesekan, amplitudo dapat mengecil; visual ini tidak menunjukkan mekanisme tersebut. Jika posisi diukur dari setimbang pada pegas vertikal, model simpangan masih serupa, tetapi gravitasi telah menentukan pergeseran posisi setimbangnya.

Contoh 1: setelan awal visual

Ambil A = 1 m dan $\omega=2$ rad/s. Periode $T=\pi\approx3{,}142$ s dan frekuensi $f=1/\pi\approx0{,}318$ Hz. Pada $t=T/4=\pi/4\approx0{,}785$ s, fase $\omega t=\pi/2$. Posisi nol, kecepatan −2 m/s, dan percepatan nol. Cek tanda: benda mulai dari x positif dan sedang menuju arah negatif. Pada t = T/2, posisi −1 m, kecepatan nol, dan percepatan +4 m/s² menuju setimbang.

Contoh 2: pegas dengan parameter fisik

Massa 0,5 kg terpasang pada pegas k = 8 N/m dengan amplitudo 0,2 m. Frekuensi sudut $\sqrt{8/0{,}5}=4$ rad/s. Periode $T=2\pi/4\approx1{,}571$ s. Kelajuan maksimum $v_{\max}=0{,}2(4)=0{,}8$ m/s. Energi total $E=\tfrac12(8)(0{,}2)^2=0{,}16$ J. Pemeriksaan di setimbang: $\tfrac12(0{,}5)(0{,}8)^2=0{,}16$ J, sama dengan energi potensial pada simpangan maksimum. Visual boleh mengubah A dan ω; penentuan k serta m tambahan merupakan interpretasi fisik model.

Kekeliruan dan cek mandiri

Gerak bolak-balik tidak otomatis harmonik sederhana; hubungan percepatan dengan simpangan harus linear dan berlawanan arah. Ringkasnya, bedakan A, ω, f, dan fase. Bila A dilipatgandakan pada ω tetap, periode tetap, kelajuan maksimum menjadi dua kali, dan energi menjadi empat kali jika k tetap. Jelaskan tiga hasil ini dari rumus, lalu bandingkan dengan visual.

Sumber belajar

• OpenStax University Physics Volume 1 — Simple Harmonic Motion
• OpenStax University Physics Volume 1 — Energy in Simple Harmonic Motion

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.