Gerak Harmonik Sederhana: Rumus Simpangan, Periode, Energi

Gerak harmonik sederhana (GHS) adalah gerak bolak-balik di sekitar titik setimbang yang percepatannya sebanding dengan simpangan dan selalu mengarah ke titik setimbang, $a = -\omega^2 x$. Simpangannya memenuhi $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$, dengan periode $T = 2\pi/\omega$. Contoh klasiknya adalah massa pada pegas ideal dan bandul sederhana dengan simpangan kecil.

Persamaan Diferensial GHS dari Hukum Newton

Tinjau benda bermassa $m$ pada pegas ideal di bidang licin. Simpangan $x$ diukur dari titik setimbang. Menurut hukum Hooke, gaya pegas $F = -kx$; tanda negatif berarti gaya selalu menuju titik setimbang, berlawanan dengan simpangan.

Hukum Newton 2 memberi $m\ddot x = -kx$, atau

Dua titik di atas $x$ menyatakan turunan kedua terhadap waktu, yaitu percepatan. Setiap sistem yang persamaan geraknya dapat ditulis dalam bentuk ini bergerak harmonik sederhana, apa pun asal gayanya.

Solusi umumnya $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$. Dua konstanta, $A$ dan $\phi$, ditentukan oleh posisi dan kecepatan awal. Jika benda dilepas dari simpangan $A$ tanpa kecepatan awal, maka $\phi = 0$.

Rumus Simpangan, Kecepatan, dan Percepatan

Turunkan simpangan terhadap waktu (dengan $\phi = 0$):

• Simpangan: $x = A\cos\omega t$
• Kecepatan: $v = \dot x = -A\omega\sin\omega t$
• Percepatan: $a = \ddot x = -A\omega^2\cos\omega t = -\omega^2 x$

Nilai maksimumnya adalah $v_{\text{maks}} = A\omega$ di titik setimbang dan $a_{\text{maks}} = A\omega^2$ di simpangan terjauh. Di simpangan terjauh kecepatan nol tetapi percepatan maksimum; di titik setimbang percepatan nol tetapi kelajuan maksimum.

Dengan menghilangkan $t$ memakai $\sin^2 + \cos^2 = 1$, diperoleh kecepatan sebagai fungsi simpangan:

Rumus Periode dan Frekuensi pada Pegas dan Bandul

Periode $T$ adalah waktu untuk satu getaran penuh, dan frekuensi $f = 1/T$ adalah banyak getaran tiap sekon dalam hertz (Hz). Hubungannya dengan frekuensi sudut: $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$. Frekuensi sudut 2 rad/s tidak sama dengan 2 Hz.

Sistem	Frekuensi sudut	Periode
Massa–pegas	$\omega = \sqrt{k/m}$	$T = 2\pi\sqrt{m/k}$
Bandul sederhana (sudut kecil)	$\omega = \sqrt{g/L}$	$T = 2\pi\sqrt{L/g}$

Periode pegas ideal tidak bergantung pada amplitudo. Periode bandul sederhana tidak bergantung pada massa beban, dan rumusnya hanya akurat untuk simpangan sudut kecil, misalnya di bawah sekitar 15°, ketika $\sin\theta \approx \theta$.

Energi pada Gerak Harmonik Sederhana

Energi potensial pegas $E_p = \tfrac12 kx^2$ dan energi kinetik $E_k = \tfrac12 mv^2$ saling bertukar, tetapi jumlahnya tetap jika tidak ada redaman:

Di simpangan terjauh seluruh energi berupa energi potensial; di titik setimbang seluruhnya berupa energi kinetik. Dari $\tfrac12 m v_{\text{maks}}^2 = \tfrac12 kA^2$ diperoleh kembali $v_{\text{maks}} = A\sqrt{k/m} = A\omega$. Pada sistem nyata, gesekan membuat amplitudo mengecil perlahan (osilasi teredam).

Eksplorasi Visual: Grafik Simpangan terhadap Waktu

Simulasi di atas menggambar $x(t) = A\cos(\omega t)$ dengan fase awal nol dan tanpa redaman. Setelan awalnya A = 1 m dan ω = 2 rad/s, sama dengan Contoh 1. Grafik hanya menampilkan simpangan; kecepatan dan percepatan perlu kamu hitung dari turunannya.

Contoh Soal Gerak Harmonik Sederhana dan Pembahasan

Contoh 1: membaca persamaan simpangan

Diketahui $x(t) = \cos(2t)$ dalam meter. Tentukan periode, frekuensi, serta keadaan benda pada $t = T/4$ dan $t = T/2$.

Pembahasan: $T = 2\pi/2 = \pi \approx 3{,}142$ s dan $f = 1/\pi \approx 0{,}318$ Hz. Pada $t = T/4 = \pi/4 \approx 0{,}785$ s, fase $2t = \pi/2$, sehingga $x = 0$, $v = -2\sin(\pi/2) = -2$ m/s, dan $a = 0$. Pada $t = T/2$, $x = -1$ m, $v = 0$, dan $a = -\omega^2 x = +4$ m/s².

Contoh 2: sistem massa–pegas

Benda 0,5 kg pada pegas k = 8 N/m berosilasi dengan amplitudo 0,2 m. Tentukan $\omega$, $T$, $v_{\text{maks}}$, energi total, dan kecepatan saat $x = 0{,}1$ m.

Pembahasan: $\omega = \sqrt{8/0{,}5} = 4$ rad/s dan $T = 2\pi/4 \approx 1{,}571$ s. Kelajuan maksimum $v_{\text{maks}} = 0{,}2 \times 4 = 0{,}8$ m/s, dan energi total $E = \tfrac12(8)(0{,}2)^2 = 0{,}16$ J. Saat $x = 0{,}1$ m, $v = 4\sqrt{0{,}04 - 0{,}01} = 4\sqrt{0{,}03} \approx 0{,}693$ m/s. Cek energi: $\tfrac12(0{,}5)(0{,}693)^2 + \tfrac12(8)(0{,}1)^2 \approx 0{,}12 + 0{,}04 = 0{,}16$ J.

Contoh 3: bandul sederhana

Bandul dengan panjang tali 1 m berayun dengan sudut kecil. Dengan $g = 9{,}8$ m/s², berapa periodenya?

Pembahasan: $T = 2\pi\sqrt{1/9{,}8} \approx 2\pi(0{,}3194) \approx 2{,}007$ s. Jika panjang tali dijadikan 4 m, periodenya menjadi dua kali, sekitar 4,014 s.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Ringkasan

• GHS: $a = -\omega^2 x$ dengan solusi $x = A\cos(\omega t + \phi)$.
• $v_{\text{maks}} = A\omega$ di titik setimbang dan $a_{\text{maks}} = A\omega^2$ di simpangan terjauh.
• Pegas: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$; bandul sudut kecil: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$.
• Energi total $E = \tfrac12 kA^2$ tetap jika tidak ada redaman.

Materi Terkait

• Usaha oleh Gaya Berubah: asal-usul energi potensial pegas $\tfrac12 kx^2$ melalui integral.
• Momen Inersia: dipakai pada bandul fisis dan osilasi rotasi.
• Hukum Newton 2: dasar persamaan gerak osilasi.
• Lihat semua materi di halaman mapel Fisika.

Sumber belajar

• OpenStax University Physics Volume 1 — Simple Harmonic Motion
• OpenStax University Physics Volume 1 — Energy in Simple Harmonic Motion

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.