Momen Inersia: Rumus Benda Tegar dan Contoh Soal

Momen inersia adalah ukuran kelembaman benda terhadap perubahan gerak rotasi di sekitar suatu sumbu. Untuk sistem partikel, $I = \sum m_i r_i^2$; untuk benda kontinu, $I = \int r^2\,dm$, dengan $r$ jarak tegak lurus ke sumbu putar. Satuannya kg·m². Nilainya bergantung pada massa, bentuk benda, dan letak sumbu putar.

Apa Itu Momen Inersia?

Pada gerak lurus, massa menyatakan seberapa sulit benda dipercepat. Pada gerak rotasi, peran itu diambil oleh momen inersia. Semakin besar momen inersia, semakin besar torsi yang diperlukan untuk mengubah kecepatan sudut benda.

Momen inersia tidak hanya bergantung pada massa, tetapi juga pada sebaran massa terhadap sumbu putar. Massa yang jauh dari sumbu menyumbang jauh lebih besar karena jaraknya dikuadratkan. Itulah sebabnya pemain seluncur es berputar lebih cepat saat merapatkan lengannya.

Jarak $r$ pada rumus adalah jarak tegak lurus dari elemen massa ke sumbu putar, bukan jarak ke titik asal koordinat. Benda yang sama dapat mempunyai momen inersia berbeda untuk sumbu yang berbeda.

Rumus Momen Inersia Sistem Partikel

Untuk beberapa partikel titik, jumlahkan $m r^2$ setiap partikel: $I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \dots$ Satuannya kg·m². Batang penghubung yang sangat ringan dapat diabaikan.

Menghitung Momen Inersia Benda Tegar dengan Integral

Untuk benda kontinu, ganti penjumlahan dengan integral $I = \int r^2\,dm$. Kuncinya adalah menyatakan $dm$ dengan variabel posisi.

Batang homogen bermassa $M$ dan panjang $L$ memiliki rapat massa linear $\lambda = M/L$, sehingga $dm = \lambda\,dx$. Terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui pusatnya:

Terhadap sumbu di salah satu ujung, batas integralnya 0 sampai $L$:

Untuk cincin tipis terhadap sumbu simetrinya, semua massa berjarak $R$ dari sumbu, sehingga langsung $I = MR^2$.

Tabel Rumus Momen Inersia Benda Tegar

Benda (homogen)	Sumbu putar	Momen inersia
Batang tipis	Melalui pusat, tegak lurus batang	$\tfrac{1}{12}ML^2$
Batang tipis	Melalui ujung, tegak lurus batang	$\tfrac13 ML^2$
Cincin tipis atau silinder berongga tipis	Sumbu simetri	$MR^2$
Piringan atau silinder pejal	Sumbu simetri	$\tfrac12 MR^2$
Bola pejal	Melalui pusat	$\tfrac25 MR^2$
Bola berongga tipis	Melalui pusat	$\tfrac23 MR^2$
Pelat persegi panjang $a \times b$	Melalui pusat, tegak lurus pelat	$\tfrac{1}{12}M(a^2 + b^2)$

Teorema Sumbu Sejajar

Jika momen inersia terhadap sumbu yang melalui pusat massa, $I_{\text{pm}}$, sudah diketahui, momen inersia terhadap sumbu lain yang sejajar dan berjarak $d$ adalah $I = I_{\text{pm}} + Md^2$.

Cek untuk batang: $\tfrac{1}{12}ML^2 + M(L/2)^2 = \tfrac{1}{12}ML^2 + \tfrac{3}{12}ML^2 = \tfrac13 ML^2$, sama dengan hasil integral. Teorema ini hanya berlaku jika salah satu sumbu melalui pusat massa.

Energi Kinetik Rotasi dan Hukum Newton 2 Rotasi

Benda yang berputar dengan kecepatan sudut $\omega$ menyimpan energi kinetik rotasi $K = \tfrac12 I\omega^2$. Torsi resultan menghasilkan percepatan sudut menurut $\tau = I\alpha$, bentuk rotasi dari $\Sigma F = m\,a$.

Benda yang menggelinding tanpa slip memiliki energi kinetik translasi dan rotasi sekaligus: $K = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$, dengan $v = \omega R$. Karena itu, benda yang momen inersianya relatif kecil, seperti bola pejal, lebih cepat sampai di dasar bidang miring daripada silinder pejal.

Contoh Soal Momen Inersia dan Pembahasan

Contoh 1: sistem dua partikel

Partikel 2 kg dan 3 kg dipasang pada batang ringan, masing-masing berjarak 0,5 m dan 1 m dari sumbu putar. Berapa momen inersia sistem?

Pembahasan: $I = 2(0{,}5)^2 + 3(1)^2 = 0{,}5 + 3 = 3{,}5$ kg·m².

Contoh 2: batang dengan dua sumbu berbeda

Batang homogen bermassa 3 kg dan panjang 1,2 m. Hitung momen inersianya terhadap sumbu di pusat dan di ujung.

Pembahasan: di pusat, $I = \tfrac{1}{12}(3)(1{,}2)^2 = \tfrac{1}{12}(3)(1{,}44) = 0{,}36$ kg·m². Di ujung, $I = \tfrac13(3)(1{,}44) = 1{,}44$ kg·m². Cek dengan teorema sumbu sejajar: $0{,}36 + 3(0{,}6)^2 = 0{,}36 + 1{,}08 = 1{,}44$ kg·m².

Contoh 3: energi dan torsi piringan

Piringan pejal bermassa 2 kg dan berjari-jari 0,3 m berputar 10 rad/s pada sumbu simetrinya. Berapa energi kinetik rotasinya, dan berapa torsi tetap yang diperlukan untuk menghentikannya dalam 3 s?

Pembahasan: $I = \tfrac12(2)(0{,}3)^2 = 0{,}09$ kg·m² dan $K = \tfrac12(0{,}09)(10^2) = 4{,}5$ J. Perlambatan sudut $\alpha = 10/3 \approx 3{,}33$ rad/s², sehingga $\tau = I\alpha = 0{,}09 \times 10/3 = 0{,}3$ N·m.

Contoh 4: bola pejal dan silinder pejal menggelinding

Bola pejal dan silinder pejal dilepas dari ketinggian 1 m pada bidang miring dan menggelinding tanpa slip. Dengan $g = 9{,}8$ m/s², berapa kelajuan masing-masing di dasar?

Pembahasan: tulis $I = \beta MR^2$. Kekekalan energi memberi $Mgh = \tfrac12 Mv^2(1 + \beta)$, sehingga $v = \sqrt{2gh/(1 + \beta)}$. Bola pejal ($\beta = 2/5$): $v = \sqrt{19{,}6/1{,}4} = \sqrt{14} \approx 3{,}74$ m/s. Silinder pejal ($\beta = 1/2$): $v = \sqrt{19{,}6/1{,}5} \approx 3{,}61$ m/s. Massa dan jari-jari tidak berpengaruh.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Ringkasan

• Momen inersia $I = \sum m r^2$ atau $\int r^2\,dm$, dengan $r$ jarak tegak lurus ke sumbu.
• Batang: $\tfrac{1}{12}ML^2$ (pusat) dan $\tfrac13 ML^2$ (ujung); silinder pejal $\tfrac12 MR^2$; bola pejal $\tfrac25 MR^2$.
• Teorema sumbu sejajar: $I = I_{\text{pm}} + Md^2$.
• Energi kinetik rotasi $\tfrac12 I\omega^2$ dan $\tau = I\alpha$.

Materi Terkait

• Hukum Newton 2: versi translasi dari $\tau = I\alpha$.
• Usaha oleh Gaya Berubah: teorema usaha–energi yang juga berlaku pada rotasi.
• Gerak Harmonik Sederhana: osilasi yang juga muncul pada bandul fisis.
• Lihat semua materi di halaman mapel Fisika.

Sumber belajar

• OpenStax University Physics Volume 1 — Moment of Inertia and Rotational Kinetic Energy
• OpenStax University Physics Volume 1 — Calculating Moments of Inertia
• Wikipedia bahasa Indonesia — Momen inersia

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.