Usaha oleh Gaya Berubah: Rumus Integral dan Dot Product

Usaha oleh gaya berubah dihitung dengan integral $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx$, yaitu luas bertanda di bawah grafik gaya terhadap posisi. Untuk gaya konstan dalam ruang, integral ini menyusut menjadi hasil kali titik (dot product) $W = \vec F \cdot \Delta\vec r = F\,s\cos\theta$. Satuan usaha adalah joule, dengan 1 J = 1 N·m.

Rumus Usaha W = F · s sebagai Dot Product

Di SMP, usaha ditulis $W = F \times s$ untuk gaya yang searah perpindahan. Bentuk umumnya untuk gaya konstan adalah hasil kali titik antara vektor gaya dan vektor perpindahan:

Hanya komponen gaya yang sejajar perpindahan yang melakukan usaha. Dalam komponen Kartesius, kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan: $W = F_x\Delta x + F_y\Delta y + F_z\Delta z$. Setiap suku bersatuan N·m = J, dan hasilnya skalar.

• $0^\circ \le \theta < 90^\circ$: usaha positif, gaya membantu gerak.
• $\theta = 90^\circ$: usaha nol, misalnya gaya normal pada benda yang meluncur di lantai datar.
• $90^\circ < \theta \le 180^\circ$: usaha negatif, misalnya gaya gesek kinetis.

Usaha oleh Gaya yang Membentuk Sudut

Sebuah koper ditarik dengan gaya 50 N melalui tali yang membentuk sudut 60° terhadap lantai, dan koper berpindah 10 m mendatar. Usaha gaya tarik $W = 50 \times 10 \times \cos 60^\circ = 250$ J. Komponen tegak gaya tarik, $50\sin 60^\circ \approx 43{,}3$ N, tidak melakukan usaha karena tegak lurus perpindahan, tetapi memperkecil gaya normal.

Usaha oleh Gaya Berubah: Integral dan Luas di Bawah Grafik

Jika gaya berubah terhadap posisi, rumus $F\,s$ tidak bisa dipakai langsung karena setiap bagian lintasan menerima gaya berbeda. Bagi lintasan menjadi potongan kecil $\Delta x_i$. Usaha pada setiap potongan mendekati $F(x_i)\,\Delta x_i$, sehingga usaha total mendekati jumlah Riemann. Dalam limit potongan sangat kecil, jumlah ini menjadi integral:

Secara geometris, integral ini adalah luas bertanda di bawah grafik gaya terhadap posisi. Untuk gerak ke arah x positif, daerah di atas sumbu memberi usaha positif dan daerah di bawahnya memberi usaha negatif. Untuk lintasan tiga dimensi yang melengkung, bentuk umumnya adalah integral garis $W = \int_C \vec F\cdot d\vec r$.

Usaha Gaya Pegas

Gaya pegas ideal $F_s = -kx$ adalah contoh klasik gaya berubah. Saat ujung pegas bergeser dari $x_1$ ke $x_2$:

Jika pegas diregangkan dari 0 ke $A$, usaha pegas adalah $-\tfrac12 kA^2$. Tanda negatif berarti pegas melawan regangan. Energi itu tersimpan sebagai energi potensial pegas $\tfrac12 kA^2$.

Teorema Usaha–Energi Kinetik

Teorema usaha–energi menyatakan bahwa usaha total semua gaya pada partikel sama dengan perubahan energi kinetiknya:

Buktinya singkat. Dari hukum Newton 2, $F_{\text{net}} = m\,\dfrac{dv}{dt} = m\,v\,\dfrac{dv}{dx}$, sehingga $F_{\text{net}}\,dx = m\,v\,dv$. Integralkan kedua ruas dari keadaan 1 ke keadaan 2. Teorema ini berguna saat kita mencari kelajuan setelah benda menempuh suatu jarak tanpa perlu mengetahui waktunya.

Eksplorasi Visual: Dot Product Gaya dan Perpindahan

Visual vektor di atas menampilkan vektor $(1, 2, 2)$. Anggap vektor itu perpindahan $\Delta\vec r$ dalam meter. Panjangnya $\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ m, dan sudutnya terhadap sumbu x memenuhi $\cos\alpha = 1/3$, sekitar 70,5°. Gunakan visual ini untuk Contoh 1: bayangkan gaya dengan komponen yang diketahui bekerja sepanjang perpindahan itu.

Contoh Soal Usaha oleh Gaya Berubah dan Pembahasan

Contoh 1: usaha sebagai dot product

Gaya konstan $\vec F = (4, -1, 2)$ N memindahkan benda sejauh $\Delta\vec r = (1, 2, 2)$ m. Berapa usahanya?

Pembahasan: $W = 4(1) + (-1)(2) + 2(2) = 4 - 2 + 4 = 6$ J. Komponen y menyumbang −2 J karena gaya dan perpindahan berlawanan pada arah itu. Cek dengan sudut: $|\vec F| = \sqrt{21} \approx 4{,}583$ N, sehingga $\cos\theta = 6/(4{,}583 \times 3) \approx 0{,}436$ dan $\theta \approx 64{,}1^\circ$. Sudut lancip sesuai dengan usaha positif.

Contoh 2: gaya linear dan kelajuan akhir

Resultan gaya $F(x) = 2x + 1$ (F dalam N, x dalam m) bekerja pada benda 2 kg yang mula-mula diam, dari x = 0 sampai x = 3 m. Berapa usaha dan kelajuan akhirnya?

Pembahasan: $W = \int_0^3 (2x + 1)\,dx = \left[x^2 + x\right]_0^3 = 12$ J. Cek dengan luas trapesium: gaya awal 1 N dan gaya akhir 7 N, sehingga $W = \tfrac12(1 + 7)(3) = 12$ J. Dengan teorema usaha–energi, $\tfrac12(2)v^2 = 12$, sehingga $v = \sqrt{12} \approx 3{,}46$ m/s. Memakai gaya akhir saja, $7 \times 3 = 21$ J, memberi hasil yang terlalu besar.

Contoh 3: pegas memperlambat benda

Benda 1 kg dengan energi kinetik awal 1 J bergerak ke arah x positif di bidang licin sambil menekan pegas k = 4 N/m, dari x = 0 sampai x = 0,5 m. Berapa kelajuannya di x = 0,5 m?

Pembahasan: usaha pegas $W_s = -\tfrac12(4)(0{,}5^2) = -0{,}5$ J. Cek dengan luas segitiga bertanda: alas 0,5 m dan gaya akhir −2 N, jadi $-\tfrac12(0{,}5)(2) = -0{,}5$ J. Energi kinetik akhir $K_2 = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$ J, sehingga $v_2 = \sqrt{2(0{,}5)/1} = 1$ m/s.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Ringkasan

• Gaya konstan: $W = \vec F\cdot\Delta\vec r = F\,s\cos\theta$, dihitung per komponen lalu dijumlahkan.
• Gaya berubah: $W = \int F(x)\,dx$, yaitu luas bertanda di bawah grafik F–x.
• Usaha pegas dari 0 ke A adalah $-\tfrac12 kA^2$.
• Teorema usaha–energi: usaha total sama dengan perubahan energi kinetik.

Materi Terkait

• Usaha dan Energi: dasar usaha dan energi di SMP.
• Gerak Harmonik Sederhana: energi pegas dalam osilasi.
• Momen Inersia: usaha dan energi pada gerak rotasi.
• Hukum Newton 2: dasar teorema usaha–energi.
• Lihat semua materi di halaman mapel Fisika.

Sumber belajar

• OpenStax University Physics Volume 1 — Work
• OpenStax University Physics Volume 1 — Kinetic Energy
• OpenStax University Physics Volume 1 — Products of Vectors

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.