Turunan sebagai laju sesaat dan pendekatan lokal

Tujuan dan prasyarat

Setelah mempelajari materi ini, kamu dapat membedakan laju rata-rata dan laju sesaat, menghitung turunan melalui definisi limit, serta menyusun garis singgung. Prasyaratnya adalah fungsi, limit dasar, pemfaktoran, dan gradien garis. Kita bekerja dengan fungsi real pada interval yang memuat titik pengamatan agar pendekatan dari kiri dan kanan dapat dibandingkan.

Dari dua titik menuju satu titik

Misalkan $f(t)$ adalah posisi benda dalam meter dan $t$ waktu dalam sekon. Laju rata-rata antara waktu $a$ dan $a+h$ adalah $\frac{f(a+h)-f(a)}h$. Pembilang mengukur perubahan posisi, penyebut mengukur perubahan waktu. Satuannya meter per sekon. Pada grafik, rasio ini adalah gradien garis sekan yang melalui dua titik berbeda.

Untuk mendekati laju tepat pada waktu $a$, perkecil interval pengamatan. Jika hasil bagi dari kedua arah menuju nilai sama, limitnya disebut turunan: $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$. Selama membentuk hasil bagi, $h$ tidak boleh nol. Kita menyederhanakan ekspresi untuk $h\ne0$, lalu mengambil limit; memasukkan nol langsung ke pecahan awal akan menghasilkan bentuk tidak tentu.

Secara geometri, turunan yang terdefinisi dan berhingga memberikan gradien garis singgung. Secara praktis, ia memberi pendekatan lokal $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$ untuk perubahan kecil. Tanda positif menunjukkan kecenderungan naik, tanda negatif turun, dan nol berarti garis singgung mendatar. Turunan nol tidak otomatis membuktikan maksimum atau minimum; misalnya $x^3$ memiliki turunan nol di asal tetapi tetap meningkat melintasi titik itu.

Contoh 1: memperoleh rumus turunan dari definisi

Ambil $f(x)=x^2+3x$.

1. Hitung $f(x+h)=(x+h)^2+3(x+h)=x^2+2xh+h^2+3x+3h$.
2. Kurangi $f(x)$: tersisa $2xh+h^2+3h$.
3. Bagi dengan $h\ne0$: hasil bagi selisih menjadi $2x+h+3$.
4. Ambil limit $h\to0$: $f'(x)=2x+3$.
5. Pada $x=1$, gradiennya lima. Periksa numerik: untuk $h=0{,}01$, gradien sekan 5,01; untuk $h=-0{,}01$, 4,99. Kedua sisi mendekati lima.

Karena $f(1)=4$, garis singgungnya $y-4=5(x-1)$, atau $y=5x-1$. Garis ini melalui titik kurva yang benar dan memiliki gradien hasil limit.

Contoh 2: kecepatan sesaat

Posisi benda diberikan oleh $s(t)=t^2+2t$ meter untuk $t\ge0$ sekon. Cari kecepatan pada $t=3$ dan bandingkan dengan kecepatan rata-rata pada interval $[3,4]$.

1. Definisi limit memberi $s'(t)=2t+2$ meter per sekon.
2. Kecepatan sesaat pada tiga sekon adalah $s'(3)=8$ meter per sekon.
3. Posisi $s(3)=15$ meter dan $s(4)=24$ meter. Kecepatan rata-rata $[24-15]/[4-3]=9$ meter per sekon.
4. Periksa pada interval lebih pendek $[3,3{,}1]$: posisi akhir 15,81 meter, sehingga laju rata-rata 8,1 meter per sekon, lebih dekat ke delapan.
5. Pendekatan lokal untuk pertambahan 0,1 sekon memprediksi posisi $15+8(0{,}1)=15{,}8$ meter. Selisih 0,01 meter menunjukkan bahwa pendekatan garis singgung bukan nilai eksak.

Keterbatasan dan kesalahan umum

Fungsi yang kontinu belum tentu mempunyai turunan di setiap titik. Pada $f(x)=|x|$, hasil bagi di nol mendekati satu dari kanan dan minus satu dari kiri. Karena berbeda, turunan di nol tidak ada. Jangan pula menyamakan nilai $f(a)$ dengan nilai $f'(a)$: keduanya mengukur hal berbeda dan biasanya mempunyai satuan berbeda.

Ringkasan dan cek mandiri

Turunan adalah limit laju rata-rata, bukan pembagian perubahan dengan interval nol. Untuk $g(x)=x^2$ pada $x=2$, gradien empat dan garis singgung $y=4x-4$. Periksa bahwa garis melalui $(2,4)$, lalu bandingkan prediksi pada $x=2{,}01$ dengan nilai fungsi sebenarnya.

Sumber belajar

• OpenStax Calculus Volume 1 — Defining the Derivative

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.