Peluang: ruang sampel, kejadian, dan pengambilan bertahap

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan membangun ruang sampel, menghitung peluang kejadian sederhana, dan membedakan dua pengambilan dengan atau tanpa pengembalian. Bekalnya adalah pecahan, perkalian, dan pencacahan. Kita membahas percobaan acak dengan hasil berhingga; asumsi tentang keadilan alat dan cara pengambilan harus dinyatakan agar hitungan bermakna.

Daftar hasil sebelum menghitung

Ruang sampel $S$ adalah kumpulan semua hasil yang mungkin dari satu percobaan. Kejadian $A$ adalah bagian dari ruang sampel yang memenuhi syarat tertentu. Untuk satu dadu adil, $S=\{1,2,3,4,5,6\}$. Kejadian mendapat angka genap adalah $A=\{2,4,6\}$. Jika setiap hasil mempunyai peluang sama, $P(A)=n(A)/n(S)=3/6=1/2$.

Rumus banyak hasil menguntungkan dibagi banyak semua hasil hanya dapat dipakai langsung ketika hasil-hasil elementer sama mungkin. Pada dadu berbobot atau undian dengan tiket berbeda bobot, jumlah hasil saja tidak cukup. Peluang berada antara nol dan satu. Nol menyatakan kejadian mustahil dalam model; satu menyatakan kejadian pasti.

Kejadian komplemen $A^c$ berarti A tidak terjadi. Karena A dan komplemennya membagi seluruh ruang sampel tanpa tumpang tindih, $P(A^c)=1-P(A)$. Untuk peluang “setidaknya satu”, menghitung komplemen “tidak ada satu pun” sering lebih mudah, tetapi ruang sampelnya tetap perlu diperiksa.

Urutan dan informasi baru

Pada dua kali lemparan koin adil yang independen, hasil pertama tidak mengubah peluang hasil kedua. Gunakan urutan agar hasil tidak terlewat. Dua hasil “gambar lalu angka” dan “angka lalu gambar” berbeda walaupun keduanya mengandung satu gambar. Jika bola tidak dikembalikan setelah diambil, isi kantong berubah. Peluang kedua harus dihitung dari keadaan baru; pengambilan tersebut umumnya tidak independen.

Aturan perkalian bertahap berbunyi $P(A\text{ lalu }B)=P(A)P(B\mid A)$. Simbol $P(B\mid A)$ adalah peluang B dengan informasi A sudah terjadi. Jika independen, peluang ini sama dengan $P(B)$. Tuliskan cabang pengambilan agar penyebut pada setiap tahap sesuai jumlah benda yang masih tersedia.

Contoh 1: tepat satu gambar

Lempar satu koin adil dua kali, dengan lemparan independen. Gunakan G untuk gambar dan A untuk angka.

1. Ruang sampel berurutan adalah GG, GA, AG, AA.
2. Keempatnya sama mungkin, masing-masing berpeluang $1/2\times1/2=1/4$.
3. Tepat satu gambar terjadi pada GA dan AG, sehingga peluangnya $2/4=1/2$.
4. Periksa: nol gambar berpeluang $1/4$, satu gambar $1/2$, dan dua gambar $1/4$. Jumlahnya satu.

Contoh 2: dua bola merah tanpa pengembalian

Kantong berisi tiga bola merah dan dua bola biru. Setiap bola sama mungkin terambil. Ambil dua bola berturut-turut tanpa pengembalian.

1. Peluang merah pertama $3/5$.
2. Setelah merah pertama, tersisa dua merah dari empat bola. Peluang merah kedua dengan kondisi itu $2/4$.
3. Peluang keduanya merah $3/5\times2/4=6/20=3/10$.
4. Periksa dengan pasangan tanpa urutan: ada $\binom52=10$ pasangan bola dan $\binom32=3$ pasangan merah. Rasio tiga persepuluh sama dengan hasil bertahap.

Jika bola pertama dikembalikan dan kantong diacak lagi, peluang kedua tetap $3/5$. Peluang dua merah menjadi $9/25$, bukan $3/10$.

Kesalahan umum dan ringkasan

Jangan menggabungkan GA dan AG menjadi satu hasil jika menggunakan daftar hasil sama mungkin. Jangan mempertahankan penyebut lima setelah satu bola diambil tanpa pengembalian. Peluang satu per dua juga tidak menjamin tepat separuh hasil dalam percobaan pendek; peluang menggambarkan model, bukan jadwal kejadian.

Cek mandiri

Untuk dua lemparan koin tadi, peluang setidaknya satu gambar adalah $1-1/4=3/4$, karena komplemennya hanya AA. Jelaskan mengapa “tepat satu” dan “setidaknya satu” mempunyai hasil berbeda.

Sumber belajar

• OpenStax Introductory Statistics 2e — Terminology

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.