Integral tentu: akumulasi dan luas bertanda

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan menafsirkan integral tentu sebagai akumulasi, menghitungnya dengan antiturunan, serta membedakan luas bertanda dan luas geometris. Prasyaratnya adalah fungsi, turunan polinom, luas persegi panjang dan segitiga, serta limit sederhana. Kita memakai fungsi kontinu pada interval tertutup agar penerapan teorema dasar kalkulus di contoh-contoh berikut sah.

Menjumlahkan kontribusi kecil

Jika laju aliran air $r(t)$ dalam liter per menit berubah sepanjang waktu, mengalikan satu nilai laju dengan seluruh durasi dapat tidak akurat. Bagilah waktu menjadi banyak interval kecil. Pada interval ke-i, volume dapat didekati dengan $r(t_i^*)\Delta t_i$, yaitu laju sampel dikalikan durasi pendek. Jumlah seluruh kontribusi disebut jumlah Riemann.

Ketika lebar interval terbesar menuju nol, jumlah tersebut mendekati $\int_a^b r(t)\,dt$. Angka $a$ dan $b$ adalah batas bawah dan atas. Simbol $dt$ menunjukkan variabel integrasi serta ukuran interval kecil. Satuan hasil adalah satuan laju dikalikan waktu: liter per menit kali menit menjadi liter. Dengan demikian, integral mengembalikan jumlah yang terakumulasi dari laju.

Pada grafik $y=f(x)$, kontribusi di atas sumbu $x$ bernilai positif dan kontribusi di bawahnya negatif. Integral tentu menghitung luas bertanda. Untuk luas geometris total, hitung bagian-bagian dengan tanda positif, setara mengintegralkan $|f(x)|$. Untuk kecepatan satu dimensi, integral kecepatan memberi perpindahan, sedangkan integral kelajuan $|v(t)|$ memberi jarak tempuh.

Menghitung melalui antiturunan

Fungsi $F$ adalah antiturunan $f$ jika $F'=f$. Teorema dasar kalkulus menyatakan, untuk $f$ kontinu pada $[a,b]$, $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$. Jadi kita dapat menghitung akumulasi tanpa menuliskan seluruh jumlah Riemann. Konstanta antiturunan saling menghapus: $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.

Untuk polinom, antiturunan $x^n$ adalah $x^{n+1}/(n+1)$ ketika $n\ne-1$. Kamu dapat memeriksa setiap antiturunan dengan mendiferensialkannya. Aturan ini tidak berlaku pada $x^{-1}$; bentuk itu mempunyai antiturunan logaritmik pada interval yang tidak memuat nol.

Contoh 1: air yang terkumpul

Air mengalir dengan laju $r(t)=2t+1$ liter per menit selama tiga menit, mulai $t=0$.

1. Volume tambahan adalah $\int_0^3(2t+1)\,dt$.
2. Antiturunannya $R(t)=t^2+t$, sebab $R'(t)=2t+1$.
3. Hitung $R(3)-R(0)=9+3-0=12$ liter.
4. Periksa geometri: laju awal satu dan akhir tujuh liter per menit. Luas trapesium di bawah garis adalah $\frac12(1+7)\times3=12$ liter.
5. Angka 12 menyatakan air tambahan selama interval; jika wadah awalnya berisi dua liter, isi akhirnya 14 liter, dengan asumsi tidak ada kebocoran.

Contoh 2: integral nol, luas tidak nol

Hitung integral dan luas geometris untuk $f(x)=x$ pada $[-1,1]$.

1. Antiturunannya $F(x)=x^2/2$.
2. Integral $F(1)-F(-1)=1/2-1/2=0$.
3. Grafik membentuk dua segitiga. Bagian kiri berada di bawah sumbu dengan integral minus setengah; bagian kanan mempunyai integral setengah.
4. Luas geometris menjumlahkan besarnya: $1/2+1/2=1$ satuan persegi.
5. Periksa dengan $\int_{-1}^1|x|\,dx=1$. Pembatalan tanda menjelaskan integral nol; daerahnya tetap ada.

Kesalahan umum dan ringkasan

Jangan memakai $F(b)+F(a)$ atau membalik pengurangannya. Batas terbalik menghasilkan tanda terbalik. Jangan menambahkan konstanta bebas pada hasil integral tentu; hasilnya angka tertentu. Integral bertanda dapat nol karena kontribusi saling membatalkan.

Cek mandiri

Hitung $\int_1^3 2x\,dx$. Antiturunan $x^2$ memberi $9-1=8$. Periksa melalui luas trapesium dengan tinggi grafik dua dan enam, serta lebar interval dua: hasilnya juga delapan.

Sumber belajar

• OpenStax Calculus Volume 1 — The Fundamental Theorem of Calculus

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.