Vektor tiga dimensi dan hasil kali titik

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan membaca vektor dari komponen, menghitung panjang, menormalkan vektor, dan memakai hasil kali titik untuk memeriksa sudut. Prasyaratnya adalah koordinat Kartesius, Pythagoras, dan kosinus. Vektor tiga dimensi berguna untuk menyatakan perpindahan atau gaya yang arah dan besarnya sama-sama diperlukan.

Komponen bukan panjang total

Vektor $\mathbf u=\langle u_x,u_y,u_z\rangle$ menyatakan perpindahan masing-masing pada tiga sumbu saling tegak lurus. Vektor $\langle1,2,2\rangle$ berarti bergerak satu satuan pada arah $x$ positif, dua pada $y$ positif, dan dua pada $z$ positif. Titik ujungnya dapat digambar dari asal, tetapi vektor bebas dapat dipindahkan sejajar tanpa mengubah besar atau arah.

Panjang atau normanya $\|\mathbf u\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$. Ini merupakan penerapan Pythagoras dua kali: pertama pada bidang $xy$, lalu dengan komponen $z$. Menjumlahkan komponen tidak memberi jarak lurus; penjumlahan itu lebih menyerupai panjang perjalanan melalui tiga ruas sumbu, jika semua komponen positif.

Untuk $\mathbf u\ne\mathbf0$, vektor satuan searahnya adalah $\widehat{\mathbf u}=\mathbf u/\|\mathbf u\|$. Panjangnya satu. Pembagian ini mempertahankan perbandingan komponen sehingga arah tetap sama. Vektor nol tidak memiliki arah tunggal, maka tidak dapat dinormalkan dengan membagi normanya yang nol.

Hasil kali titik menghubungkan aljabar dan sudut

Untuk $\mathbf u$ dan $\mathbf v$, definisikan $\mathbf u\cdot\mathbf v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$. Hasilnya skalar, bukan vektor. Secara geometri, $\mathbf u\cdot\mathbf v=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\cos\theta$ untuk sudut antara dua vektor bukan nol, dengan $0\le\theta\le\pi$.

Hasil positif berarti sudut lancip, nol berarti tegak lurus untuk dua vektor bukan nol, dan negatif berarti sudut tumpul. Jika salah satu vektor nol, hasil kali titik tetap nol tetapi tidak ada sudut yang dapat ditentukan. Karena itu, pernyataan tentang tegak lurus perlu memeriksa bahwa kedua vektor bukan nol.

Komponen sepanjang arah vektor satuan $\widehat{\mathbf v}$ adalah skalar $\mathbf u\cdot\widehat{\mathbf v}$. Proyeksi vektor pada $\mathbf v\ne\mathbf0$ adalah $\operatorname{proj}_{\mathbf v}\mathbf u=\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf v\|^2}\mathbf v$. Bedakan besar komponen terarah dan vektor proyeksinya.

Contoh 1: membaca vektor dalam visual

Gunakan $\mathbf u=\langle1,2,2\rangle$.

1. Normanya $\sqrt{1+4+4}=3$ satuan.
2. Vektor satuannya $\langle1/3,2/3,2/3\rangle$. Periksa norma kuadratnya $1/9+4/9+4/9=1$.
3. Arah sumbu $z$ positif diwakili $\mathbf e_z=\langle0,0,1\rangle$. Hasil kali titik $\mathbf u\cdot\mathbf e_z=2$.
4. Maka $\cos\theta=2/(3\times1)=2/3$, sehingga $\theta\approx48{,}2^\circ$.
5. Proyeksi pada sumbu $z$ adalah $\langle0,0,2\rangle$, sesuai komponen z. Memutar kamera tidak mengubah hasil-hasil ini.

Contoh 2: menguji tegak lurus

Ambil $\mathbf v=\langle2,1,-2\rangle$ dan u dari contoh pertama.

1. Hitung $\mathbf u\cdot\mathbf v=1(2)+2(1)+2(-2)=2+2-4=0$.
2. Kedua vektor bukan nol dan normanya masing-masing tiga, sehingga $\cos\theta=0/9=0$.
3. Sudutnya 90 derajat dan proyeksi u pada v adalah vektor nol.
4. Periksa dengan norma jumlah: $\mathbf u+\mathbf v=\langle3,3,0\rangle$ memiliki norma kuadrat 18, sama dengan $3^2+3^2$. Ini sesuai hubungan Pythagoras untuk dua vektor tegak lurus.

Kesalahan umum dan cek mandiri

Jangan mengalikan komponen lalu menyimpan tiga hasil sebagai hasil kali titik; ketiganya harus dijumlahkan. Jangan menentukan sudut hanya dari tampilan perspektif. Jika perpindahan diukur dalam meter, normanya juga meter. Hasil kali titik dua perpindahan mempunyai satuan meter kuadrat.

Untuk $\mathbf w=\langle0,3,4\rangle$, normanya lima dan vektor satuannya $\langle0,3/5,4/5\rangle$. Periksa sendiri bahwa normanya satu dan sudutnya terhadap sumbu z memenuhi kosinus empat perlima.

Sumber belajar

• OpenStax Calculus Volume 3 — The Dot Product

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.