Fungsi kuadrat: akar, puncak, dan bentuk grafik

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan membaca fungsi kuadrat melalui tiga bentuk aljabar, menemukan akar dan puncak, serta memakai puncak untuk masalah maksimum atau minimum. Prasyaratnya adalah pemfaktoran, koordinat, dan operasi kuadrat. Grafik membantu menguji perhitungan, tetapi titik yang tampak pada layar perlu dikonfirmasi dengan substitusi.

Tiga bentuk, tiga informasi

Fungsi kuadrat berbentuk $f(x)=ax^2+bx+c$ dengan $a\ne0$. Grafiknya disebut parabola. Jika $a>0$, parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai minimum. Jika $a<0$, parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum. Pada bentuk umum, $c=f(0)$ langsung memberikan titik potong sumbu $y$.

Jika fungsi dapat ditulis $a(x-r_1)(x-r_2)$, angka $r_1$ dan $r_2$ adalah akar realnya. Pada akar, keluaran nol karena salah satu faktor nol. Tidak semua fungsi kuadrat memiliki dua akar real berbeda. Diskriminan $D=b^2-4ac$ membedakan dua akar real ketika $D>0$, satu akar real ganda ketika $D=0$, dan tidak ada akar real ketika $D<0$.

Bentuk puncak $f(x)=a(x-h)^2+k$ memperlihatkan titik puncak $(h,k)$. Karena $(x-h)^2$ tidak negatif, nilai terendahnya nol pada $x=h$. Jika $a$ positif, $k$ menjadi nilai minimum; jika negatif, $k$ menjadi maksimum. Garis $x=h$ adalah sumbu simetri: nilai pada $h-d$ dan $h+d$ sama. Pada bentuk umum, $h=-b/(2a)$ dan $k=f(h)$.

Melengkapkan kuadrat menyambungkan bentuk umum ke bentuk puncak. Tambahkan dan kurangkan bilangan yang diperlukan agar dua suku pertama membentuk kuadrat sempurna. Jangan menambahkan sebuah bilangan tanpa mengimbanginya karena itu akan mengubah fungsi.

Contoh 1: akar dan puncak satu parabola

Diberikan $f(x)=x^2-2x-3$.

1. Faktorkan: $(x-3)(x+1)$. Dua angka yang hasil kalinya minus tiga dan jumlahnya minus dua adalah minus tiga dan satu.
2. Akar diperoleh dari $x-3=0$ atau $x+1=0$, sehingga $x=3$ atau $x=-1$.
3. Lengkapi kuadrat: $x^2-2x-3=(x-1)^2-4$. Puncaknya $(1,-4)$ dan nilai minimumnya minus empat.
4. Periksa akar dengan substitusi: $f(3)=9-6-3=0$ dan $f(-1)=1+2-3=0$.
5. Periksa simetri: akar berjarak dua satuan dari $x=1$, dan $f(0)=f(2)=-3$.

Contoh 2: luas taman dengan pagar terbatas

Taman persegi panjang mempunyai keliling 20 meter. Jika lebar $x$ meter, berapa luas maksimumnya?

1. Dari $2(p+x)=20$, panjangnya $p=10-x$. Agar kedua sisi positif, gunakan domain $0<x<10$.
2. Luas $A(x)=x(10-x)=-x^2+10x$ meter persegi.
3. Lengkapi kuadrat: $A(x)=-(x-5)^2+25$. Maksimum terjadi pada $x=5$, dengan panjang juga 5 meter.
4. Luas maksimumnya 25 meter persegi. Periksa keliling $2(5+5)=20$ meter.
5. Bandingkan ukuran 4 kali 6: luasnya 24 meter persegi. Selisih dari maksimum adalah $(4-5)^2=1$, sesuai bentuk puncak.

Kesalahan umum

Akar adalah nilai $x$ ketika $f(x)=0$, sedangkan puncak adalah pasangan koordinat. Jangan membaca puncak bentuk $(x-1)^2-4$ sebagai $(-1,-4)$; kuadrat menjadi nol pada $x=1$. Arah buka ditentukan tanda $a$, bukan tanda $c$. Untuk masalah cerita, maksimum aljabar harus berada dalam domain yang diizinkan.

Ringkasan dan cek mandiri

Bentuk umum memudahkan membaca $f(0)$, bentuk faktor menampilkan akar, dan bentuk puncak menjelaskan simetri serta optimum. Untuk $g(x)=(x+2)^2+1$, puncaknya $(-2,1)$ dan tidak ada akar real karena nilai minimum positif. Jelaskan mengapa grafik tidak memotong sumbu $x$.

Sumber belajar

• OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Quadratic Functions

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.