Eksponen dan logaritma: mencari pangkat yang belum diketahui

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan menerjemahkan bentuk eksponen dan logaritma, menyelesaikan persamaan sederhana, serta memeriksa domain. Bekalnya adalah aturan pangkat, pecahan, dan persamaan aljabar. Logaritma akan lebih mudah dipahami jika kamu selalu menanyakan pangkat berapa yang diperlukan untuk menghasilkan suatu nilai.

Faktor tetap menghasilkan pertumbuhan eksponensial

Dalam pola linear, tambahan per langkah tetap. Dalam pola eksponensial, faktor pengali per langkah tetap. Barisan 3, 6, 12, 24 mempunyai faktor dua. Jika nilai awalnya $N_0$ dan setiap langkah dikalikan $q$, modelnya $N(t)=N_0q^t$ untuk langkah $t$. Pada $t=0$, $q^0=1$, sehingga nilai awal benar-benar $N_0$.

Jika $q>1$, nilai tumbuh. Jika $0<q<1$, nilai menyusut. Untuk model real yang digunakan di sini, basis harus positif. Pangkat negatif berarti kebalikan, misalnya $2^{-3}=1/8$, bukan bilangan negatif. Model penggandaan juga memiliki batas: nilai tidak terus tumbuh tanpa hambatan jika ruang atau bahan terbatas.

Logaritma membalik pertanyaan

Pernyataan $2^3=8$ dapat ditulis $\log_2 8=3$. Angka dua disebut basis, delapan disebut argumen, dan tiga adalah hasil logaritma. Secara umum, $\log_b a=c$ berarti $b^c=a$, dengan $b>0$, $b\ne1$, dan $a>0$. Basis satu tidak dapat dipakai karena $1^c$ selalu satu sehingga tidak mempunyai operasi balik yang menentukan pangkat secara unik.

Logaritma real dari nol atau bilangan negatif tidak terdefinisi. Sebelum menyelesaikan $\log_2(x-1)=3$, tulis syarat $x-1>0$, yaitu $x>1$. Setelah memperoleh jawaban, periksa syarat tersebut dan persamaan semula. Menyelesaikan aljabar saja belum cukup jika argumennya tidak sah.

Untuk argumen positif, $\log_b(uv)=\log_bu+\log_bv$ dan $\log_b(u^r)=r\log_bu$. Alasannya berasal dari aturan eksponen: mengalikan $b^p$ dengan $b^q$ menjumlahkan pangkat. Penjumlahan di dalam argumen tidak mempunyai aturan serupa. Umumnya $\log_b(u+v)$ bukan $\log_bu+\log_bv$.

Contoh 1: waktu penggandaan

Sebuah pola ideal dimulai dengan 250 unit dan menjadi dua kali setiap jam penuh. Kapan jumlahnya 2.000 unit?

1. Modelkan $N(t)=250\cdot2^t$, dengan $t$ dalam jam dan $t\ge0$.
2. Bagi persamaan $250\cdot2^t=2.000$ dengan 250: $2^t=8$.
3. Karena $2^3=8$, diperoleh $t=3$ jam, atau $t=\log_2 8$.
4. Periksa berurutan: 250, 500, 1.000, 2.000. Ada tiga penggandaan setelah nilai awal.

Model ini menggambarkan pola yang diberikan, bukan jaminan bahwa jumlah nyata akan selalu berlipat dua.

Contoh 2: persamaan dengan syarat domain

Selesaikan $\log_3(x-2)=2$.

1. Argumen harus positif: $x-2>0$, jadi $x>2$.
2. Ubah ke bentuk eksponen: $x-2=3^2=9$.
3. Tambahkan dua: $x=11$.
4. Periksa domain: 11 lebih besar dari dua. Periksa persamaan: $\log_3(11-2)=\log_3 9=2$, benar.

Kesalahan umum

Jangan menafsirkan $\log_3 9$ sebagai $9/3$; kebetulan hasilnya berbeda dari pembagian pada banyak angka, misalnya $\log_3 27=3$, bukan sembilan. Jangan menghapus logaritma dari kedua ruas jika bentuk ruas tidak sama. Bila kalkulator hanya menyediakan log basis sepuluh atau log natural, perubahan basis memberi $\log_ba=\log a/\log b$.

Ringkasan dan cek mandiri

Eksponen menentukan hasil dari basis dan pangkat; logaritma menentukan pangkat dari basis dan hasil. Coba $\log_2(1/16)$. Jawabannya minus empat karena $2^{-4}=1/16$. Jelaskan mengapa hasil logaritma dapat negatif walaupun argumennya harus positif.

Sumber belajar

• OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Logarithmic Functions

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.