Perbandingan senilai dan berbalik nilai

Tujuan dan prasyarat

Materi ini membantu kamu membedakan perbandingan senilai dan berbalik nilai, membangun persamaan, serta memeriksa asumsi sebuah soal. Kamu perlu memahami pecahan, perkalian, dan pembagian. Kemampuan membaca satuan juga penting karena rasio dapat membandingkan jumlah barang dengan biaya, jarak dengan waktu, atau dua panjang pada peta.

Mulai dari apa yang tetap

Kata “semakin banyak” belum cukup untuk memilih rumus. Carilah hubungan yang tetap ketika sebuah besaran berubah. Misalnya, jika setiap pensil mempunyai harga sama dan tidak ada biaya tambahan, biaya total dibagi jumlah pensil selalu menghasilkan harga satu pensil. Hubungan ini disebut perbandingan senilai. Dalam bentuk $y=kx$, $x$ dapat menyatakan jumlah pensil, $y$ biaya, dan $k$ harga per pensil.

Ketika $x$ menjadi dua kali, $y$ juga menjadi dua kali. Jika jumlah pensil nol, biayanya nol pada model tersebut. Biaya yang mencakup ongkos tetap tidak lagi sebanding langsung dengan jumlah barang. Perhatikan bahwa konstanta $k=y/x$ mempunyai satuan, misalnya rupiah per pensil. Satuan ini membantu menafsirkan rumus.

Pada perbandingan berbalik nilai, hasil kali kedua besaran tetap: $xy=k$, atau $y=k/x$ dengan $x$ bukan nol. Misalnya, untuk menyelesaikan sejumlah paket yang tetap, tambahan pekerja dapat mengurangi waktu. Tetapi model hanya berlaku jika kemampuan setiap pekerja sama, pekerjaan dapat dibagi, dan pekerja tidak saling menghambat. Menggandakan pekerja akan membagi waktu menjadi dua dalam asumsi tersebut.

Menyusun langkah penyelesaian

Tuliskan besaran beserta satuannya. Tentukan apakah rasionya tetap atau hasil kalinya tetap. Hitung konstanta dari pasangan data yang diketahui, lalu gunakan konstanta itu untuk memperoleh nilai baru. Terakhir, periksa arah perubahan dan kondisi cerita. Cara ini lebih mudah diaudit daripada menghafal posisi angka dalam perkalian silang.

Contoh 1: harga buku tulis

Lima buku identik berharga Rp30.000 tanpa diskon. Berapa harga delapan buku?

1. Jumlah buku dan biaya senilai karena harga setiap buku tetap.
2. Harga satu buku $k=30.000/5=6.000$ rupiah per buku.
3. Biaya delapan buku $y=6.000\times8=48.000$ rupiah.
4. Periksa: jumlah naik dengan faktor $8/5$, dan $30.000\times8/5=48.000$. Biaya per buku tetap Rp6.000.

Jika penjual memberi diskon untuk pembelian delapan buku, data harga satu buku saja belum cukup. Model harus diperbarui dengan aturan diskon.

Contoh 2: waktu menyortir paket

Empat pekerja menyelesaikan satu tugas dalam enam jam. Berapa waktu yang dibutuhkan delapan pekerja dengan laju kerja sama dan tanpa hambatan?

1. Besar tugas tetap. Jumlah pekerja kali waktu menyatakan kebutuhan kerja: $4\times6=24$ jam-orang.
2. Delapan pekerja membutuhkan $t=24/8=3$ jam.
3. Periksa: jumlah pekerja dua kali, waktunya setengah. $8\times3=24$ jam-orang, sama dengan keadaan awal.
4. Jam-orang mengukur jumlah kerja gabungan. Satu jam waktu kalender dengan delapan pekerja berarti delapan jam-orang, bukan delapan jam waktu kalender.

Kesalahan yang sering terjadi

Jangan memakai perbandingan senilai untuk semua soal pekerja. Jangan menganggap model berbalik nilai selalu cocok di dunia nyata: sepuluh orang tidak selalu dapat memanggang satu kue sepuluh kali lebih cepat. Selain itu, rasio panjang 1:100 harus menggunakan satuan yang sama sebelum dihitung; satu sentimeter pada gambar setara 100 sentimeter pada benda.

Ringkasan dan cek mandiri

Senilai mempertahankan $y/x$; berbalik nilai mempertahankan $xy$. Jika tiga kilogram beras berharga Rp45.000 dengan harga tetap, enam kilogram berharga Rp90.000. Jika tugas tetap memerlukan 12 jam-orang, enam pekerja memerlukan dua jam dengan asumsi laju sama. Jelaskan besaran apa yang tetap pada kedua situasi itu.

Sumber belajar

• OpenStax Prealgebra 2e — Solve Proportions and their Applications

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.