Fungsi linear: gradien dan titik potong

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan menghubungkan tabel, rumus, dan grafik fungsi linear; menghitung gradien; serta menentukan titik potong sumbu. Bekalnya adalah koordinat Kartesius, operasi bilangan negatif, dan substitusi aljabar. Setiap titik $(x,y)$ menunjukkan pasangan masukan dan keluaran. Pastikan urutan koordinat tidak tertukar saat menggambar.

Perubahan yang tetap

Bayangkan jumlah air dalam wadah bertambah dengan laju tetap. Jika pada setiap menit bertambah dua liter, selisih jumlah air untuk satu menit selalu dua liter. Hubungan seperti ini dapat ditulis $y=mx+b$. Gradien $m$ menunjukkan perubahan $y$ per satu perubahan $x$. Konstanta $b$ adalah nilai $y$ ketika $x=0$, yaitu titik potong dengan sumbu $y$.

Istilah fungsi linear di materi sekolah mencakup bentuk $mx+b$. Fungsi ini memberi satu nilai $y$ untuk setiap $x$. Bila $b=0$, hubungan tersebut juga merupakan perbandingan senilai. Bila $b\ne0$, rasio $y/x$ umumnya tidak tetap, walaupun gradiennya tetap. Perbedaan ini berguna saat biaya memiliki ongkos awal.

Gradien dihitung dengan $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ untuk dua titik berbeda dengan $x_2\ne x_1$. Gunakan urutan titik sama pada pembilang dan penyebut. Nilai positif berarti grafik naik saat dibaca ke kanan; nilai negatif berarti turun. Gradien nol menghasilkan garis mendatar. Garis vertikal tidak mempunyai gradien terdefinisi dan tidak dapat ditulis sebagai fungsi $y=mx+b$.

Dari rumus ke grafik

Mulailah dari $(0,b)$. Pilih dua nilai $x$ lain, hitung $y$, lalu letakkan titik pada bidang koordinat. Untuk hubungan linear, ketiga titik terletak pada satu garis lurus. Dua titik berbeda cukup menentukan garis, tetapi titik ketiga membantu mendeteksi salah hitung. Tulis satuan pada sumbu jika grafik mewakili cerita. Gradiennya kemudian mempunyai satuan keluaran per satuan masukan.

Contoh 1: membaca perubahan

Diberikan $y=2x-1$. Tentukan nilai pada $x=0,1,2$ dan titik potong sumbu $x$.

1. Substitusi menghasilkan $y=-1,1,3$, jadi titiknya $(0,-1)$, $(1,1)$, dan $(2,3)$.
2. Ketika $x$ naik satu, $y$ naik dua. Ini sesuai $m=2$.
3. Pada sumbu $x$, $y=0$. Selesaikan $0=2x-1$, sehingga $x=\frac12$.
4. Periksa: $2(\frac12)-1=0$. Jadi titik potong sumbu $x$ adalah $(\frac12,0)$; titik potong sumbu $y$ adalah $(0,-1)$.

Contoh 2: menentukan rumus dari dua titik

Garis melewati $(1,3)$ dan $(3,7)$.

1. Gradiennya $m=(7-3)/(3-1)=4/2=2$.
2. Masukkan titik pertama ke $y=2x+b$: $3=2(1)+b$, sehingga $b=1$.
3. Rumus garisnya $y=2x+1$.
4. Periksa titik kedua: $2(3)+1=7$. Kedua titik memenuhi rumus, dan ketika $x$ bertambah dua, $y$ bertambah empat.

Kesalahan umum

Jangan memakai $y/x$ sebagai gradien kecuali garis melalui asal. Jangan menganggap $b$ adalah titik potong sumbu $x$: sumbu $y$ memiliki $x=0$, sedangkan sumbu $x$ memiliki $y=0$. Grafik pada layar juga terbatas; bagian yang terpotong oleh tepi gambar tidak berarti fungsi berhenti di sana.

Ringkasan dan cek mandiri

Gradien mengukur perubahan, sementara $b$ menentukan posisi awal. Untuk $y=-x+2$, prediksikan nilai pada $x=0,1,2$ sebelum mengubah visual. Jawaban berturut-turut 2, 1, dan 0. Jelaskan mengapa garis bergeser ketika $b$ berubah, tetapi perubahan per satu langkah tetap ditentukan oleh $m$.

Sumber belajar

• OpenStax Elementary Algebra 2e — Find the Equation of a Line

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.