Teorema Pythagoras dan jarak diagonal

Tujuan dan prasyarat

Kamu akan mengenali sisi miring, menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang, serta menilai apakah tiga panjang dapat membentuk segitiga siku-siku. Bekalnya adalah kuadrat, akar kuadrat positif, dan pengenalan sudut siku-siku. Gambarlah sketsa dan tandai sudut 90 derajat sebelum memasukkan angka ke rumus.

Mengapa kuadrat panjang muncul?

Pada segitiga siku-siku, dua sisi yang bertemu pada sudut siku-siku disebut sisi siku-siku. Sisi di hadapan sudut 90 derajat disebut sisi miring atau hipotenusa. Jika sisi siku-siku panjangnya $a$ dan $b$, serta hipotenusa panjangnya $c$, teorema Pythagoras menyatakan $a^2+b^2=c^2$.

Bayangkan persegi dibangun pada setiap sisi. Rumus tersebut membandingkan luas persegi, bukan langsung menjumlahkan panjang sisi. Luas dua persegi pada sisi siku-siku sama dengan luas persegi pada hipotenusa. Inilah sebabnya sisi miring bukan $a+b$. Jalur mengikuti kedua sisi berbelok lebih panjang daripada diagonal lurus yang menghubungkan ujungnya.

Kita dapat melihat gagasan pembuktiannya melalui persegi besar dengan sisi $a+b$. Letakkan empat segitiga siku-siku yang sama di sudutnya sehingga sebuah persegi dengan sisi $c$ berada di tengah. Luas persegi besar $(a+b)^2$ sama dengan luas empat segitiga $4(\frac12ab)$ ditambah $c^2$. Mengurangi $2ab$ dari kedua sisi memberi $a^2+b^2=c^2$. Susunan ini menjelaskan hubungan tanpa harus mengukur diagonal satu per satu.

Menentukan sisi yang belum diketahui

Jika hipotenusa dicari, jumlahkan kuadrat kedua sisi siku-siku dan ambil akar positif: $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Jika sebuah sisi siku-siku dicari, kurangkan kuadrat sisi siku-siku lain dari kuadrat hipotenusa: $a=\sqrt{c^2-b^2}$. Panjang memakai akar positif karena jarak tidak negatif. Samakan satuan panjang sebelum menguadratkan.

Contoh 1: diagonal lapangan kecil

Persegi panjang berukuran 8 meter kali 15 meter. Berapa jarak lurus antara dua sudut berhadapan?

1. Diagonal membagi persegi panjang menjadi dua segitiga siku-siku. Sisi siku-sikunya 8 dan 15 meter.
2. Hitung $c^2=8^2+15^2=64+225=289$.
3. Ambil akar: $c=\sqrt{289}=17$ meter.
4. Periksa: 17 lebih panjang dari 15 dan 8, tetapi lebih pendek dari jalur tepi $8+15=23$ meter. $17^2=289$ juga sesuai jumlah kuadrat tadi.

Contoh 2: tangga bersandar

Tangga sepanjang 10 meter bersandar pada dinding tegak. Kakinya berjarak 6 meter dari dinding. Berapa tinggi ujung tangga dari tanah, dengan tanah datar?

1. Dinding dan tanah membentuk sudut siku-siku. Tangga adalah hipotenusa, bukan sisi siku-siku.
2. Dengan tinggi $h$, berlaku $h^2+6^2=10^2$.
3. Maka $h^2=100-36=64$, sehingga $h=8$ meter.
4. Periksa: $8^2+6^2=64+36=100=10^2$. Tinggi lebih pendek daripada tangga, sesuai gambar.

Kesalahan yang perlu dihindari

Teorema ini membutuhkan segitiga siku-siku; jangan menerapkannya pada setiap segitiga. Jangan menjumlahkan kuadrat jika sisi yang dicari adalah sisi siku-siku. Jangan menulis hasil panjang dalam meter persegi: kuadrat dipakai selama proses, tetapi setelah mengambil akar, hasil kembali berupa meter. Untuk memeriksa tiga sisi, gunakan sisi terpanjang sebagai calon hipotenusa.

Ringkasan dan cek mandiri

Tandai sudut siku-siku, tentukan hipotenusa, lalu pilih penjumlahan atau pengurangan kuadrat. Apakah sisi 5, 12, dan 13 membentuk segitiga siku-siku? Ya, karena $5^2+12^2=169=13^2$. Jelaskan mengapa mengganti 13 dengan 14 membuat pemeriksaan itu gagal.

Sumber belajar

• OpenStax Prealgebra 2e — Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.