Integral Tentu: Rumus, Luas, dan Volume Benda Putar

Integral tentu $\int_a^b f(x)\,dx$ adalah limit jumlah $f(x)\Delta x$ dari $x=a$ sampai $x=b$, dan nilainya dihitung dengan teorema dasar kalkulus: $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$, dengan $F'=f$. Secara geometri, integral tentu adalah luas bertanda di bawah kurva. Integral tentu juga dipakai untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.

Apa Itu Integral Tentu? Jumlah Riemann

Misalkan air mengalir dengan laju $r(t)$ liter per menit yang berubah-ubah. Bagi selang waktu $[a,b]$ menjadi banyak potongan kecil $\Delta t$. Pada setiap potongan, volume air kira-kira $r(t_i)\Delta t$. Jumlah semua potongan disebut jumlah Riemann:

Jika potongan dibuat makin tipis ($n\to\infty$), jumlah ini mendekati $\int_a^b r(t)\,dt$. Satuannya liter per menit × menit = liter. Jadi integral mengakumulasi laju menjadi jumlah total.

Teorema Dasar Kalkulus

Jika $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan $F$ adalah antiturunan $f$, maka $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$. Konstanta $C$ tidak perlu ditulis karena saling menghapus: $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$. Setiap antiturunan bisa dicek dengan menurunkannya kembali.

Integral Tentu dan Integral Tak Tentu: Apa Bedanya?

	Integral tak tentu	Integral tentu
Bentuk	$\int f(x)\,dx$	$\int_a^b f(x)\,dx$
Hasil	keluarga fungsi $F(x)+C$	satu bilangan
Makna	semua antiturunan $f$	akumulasi atau luas bertanda pada $[a,b]$

Integral tak tentu adalah "alat", integral tentu adalah "hasil ukur". Contohnya, $\int 2x\,dx=x^2+C$, sedangkan $\int_1^3 2x\,dx=9-1=8$. Teorema dasar kalkulus menghubungkan keduanya.

Sifat-sifat Integral Tentu

Sifat	Rumus
Batas sama	$\int_a^a f(x)\,dx=0$
Batas ditukar	$\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$
Konstanta	$\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx$
Jumlah	$\int_a^b(f+g)\,dx=\int_a^b f\,dx+\int_a^b g\,dx$
Pemecahan interval	$\int_a^c f\,dx=\int_a^b f\,dx+\int_b^c f\,dx$

Luas Daerah dengan Integral Tentu

Bagian kurva di atas sumbu $x$ bernilai positif, dan bagian di bawah sumbu bernilai negatif. Integral menjumlahkan keduanya dengan tanda (luas bertanda). Untuk luas geometris, pecah interval di titik potong sumbu dan jadikan setiap bagian positif.

Luas daerah di antara dua kurva, dengan $f(x)\ge g(x)$ pada $[a,b]$:

Volume Benda Putar: Metode Cakram dan Kulit Tabung

Jika daerah di bawah $y=f(x)$ pada $[a,b]$ diputar mengelilingi sumbu $x$, setiap irisan tegak menjadi cakram, yaitu tabung sangat tipis berjari-jari $f(x)$ dan tebal $dx$. Volumenya $\pi[f(x)]^2dx$, sehingga:

Jika daerah itu diputar mengelilingi sumbu $y$, setiap irisan tegak di posisi $x$ menjadi kulit tabung berjari-jari $x$, tinggi $f(x)$, dan tebal $dx$. Selimutnya bila dibuka berupa persegi panjang $2\pi x\times f(x)$:

Visual tabung di bawah membantu membayangkan kedua bentuk irisan ini.

Contoh Soal Integral Tentu dan Pembahasan

Contoh 1: Akumulasi air

Laju air $r(t)=2t+1$ liter per menit selama 3 menit.

Cek geometri: luas trapesium dengan sisi sejajar 1 dan 7 serta lebar 3 adalah $\frac12(1+7)\times3=12$.

Contoh 2: Integral nol, luas tidak nol

$\int_{-1}^1x\,dx=\Big[\frac{x^2}2\Big]_{-1}^1=\frac12-\frac12=0$. Namun luas geometrisnya $\frac12+\frac12=1$, karena ada segitiga di bawah dan di atas sumbu $x$.

Contoh 3: Luas antara dua kurva

Kurva $y=x$ dan $y=x^2$ berpotongan di $x=0$ dan $x=1$, dengan $x\ge x^2$ di antaranya.

Contoh 4: Membuktikan rumus volume kerucut

Putar garis $y=\frac rh x$ untuk $0\le x\le h$ mengelilingi sumbu $x$. Hasilnya kerucut berjari-jari $r$ dan tinggi $h$.

Contoh 5: Kulit tabung

Daerah di bawah $y=x$ pada $[0,1]$ diputar mengelilingi sumbu $y$. $V=2\pi\int_0^1x\cdot x\,dx=\frac{2\pi}3$. Cek dengan metode cincin: $\pi\int_0^1(1-y^2)\,dy=\frac{2\pi}3$. Sama.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Menghitung $F(a)-F(b)$ atau $F(b)+F(a)$.
• Menulis $+C$ pada hasil integral tentu.
• Pada metode cakram, lupa mengkuadratkan $f(x)$.

Ringkasan

• $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$; integral adalah limit jumlah Riemann.
• Luas antara kurva: $\int_a^b(f-g)\,dx$ dengan $f\ge g$.
• Volume benda putar: cakram $\pi\int f^2\,dx$, kulit tabung $2\pi\int x f\,dx$.

Materi Terkait

Antiturunan adalah kebalikan dari definisi turunan. Contoh 4 membuktikan rumus yang dihafal di SMP pada rumus tabung dan kerucut. Integral juga muncul sebagai kerja dari vektor gaya pada vektor 3 dimensi dan dot product.

Sumber belajar

• OpenStax Calculus Volume 1 — The Definite Integral
• OpenStax Calculus Volume 1 — The Fundamental Theorem of Calculus
• OpenStax Calculus Volume 1 — Determining Volumes by Slicing
• OpenStax Calculus Volume 1 — Volumes of Revolution: Cylindrical Shells

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.