Rumus Tabung dan Kerucut: Volume dan Luas Permukaan

Rumus volume tabung adalah $V=\pi r^2t$, sedangkan rumus volume kerucut adalah $V=\frac13\pi r^2t$. Luas permukaan tabung adalah $2\pi r(r+t)$, dan luas permukaan kerucut adalah $\pi r(r+s)$, dengan $s$ garis pelukis. Tabung dan kerucut termasuk bangun ruang sisi lengkung yang dipelajari di SMP kelas 9.

Apa Itu Tabung dan Kerucut?

Tabung (silinder) dibatasi dua lingkaran sejajar yang sama besar (alas dan tutup) dan satu bidang lengkung yang disebut selimut. Contohnya kaleng susu, pipa, dan gelas.

Kerucut dibatasi satu lingkaran sebagai alas dan selimut lengkung yang meruncing ke satu titik puncak. Contohnya topi ulang tahun dan cone es krim. Garis pelukis $s$ adalah garis lurus dari puncak ke tepi alas.

Unsur	Tabung	Kerucut
Sisi	3 (alas, tutup, selimut)	2 (alas, selimut)
Rusuk (lengkung)	2	1
Titik sudut	0	1 (titik puncak)

Rumus Euler $S+T-R=2$ dirancang untuk bangun ruang sisi datar, jadi tidak dipakai untuk menguji tabung dan kerucut.

Rumus Volume Tabung dan Kerucut

Tabung mirip prisma yang alasnya lingkaran. Volumenya tetap luas alas × tinggi:

Kerucut mirip limas yang alasnya lingkaran, sehingga volumenya sepertiga tabung yang alas dan tingginya sama:

Artinya, tiga kerucut penuh air dapat mengisi tepat satu tabung dengan alas dan tinggi yang sama.

Rumus Luas Permukaan Tabung dan Kerucut

Tabung: jika selimut dibuka, hasilnya persegi panjang. Panjangnya sama dengan keliling alas $2\pi r$ dan lebarnya tinggi $t$. Jadi luas selimut $=2\pi rt$, dan luas permukaan $=2\pi r^2+2\pi rt$.

Kerucut: jika selimut dibuka, hasilnya juring lingkaran berjari-jari $s$ dengan panjang busur $2\pi r$. Luas juring itu $\pi rs$. Luas permukaan kerucut $=\pi r^2+\pi rs$.

Garis pelukis dicari dengan Pythagoras, karena $r$, $t$, dan $s$ membentuk segitiga siku-siku: $s=\sqrt{r^2+t^2}$.

Untuk wadah tanpa tutup, misalnya gelas atau ember, kurangi satu lingkaran: $L=\pi r^2+2\pi rt$.

Tabung, Kerucut, dan Bola

Bangun ruang sisi lengkung ketiga yang dipelajari bersama tabung dan kerucut adalah bola, dengan volume $V=\frac43\pi r^3$ dan luas permukaan $L=4\pi r^2$.

Ketiganya punya hubungan indah yang ditemukan Archimedes. Ambil tabung dan kerucut dengan jari-jari $r$ dan tinggi $2r$, serta bola berjari-jari $r$:

Bangun	Volume
Kerucut	$\frac13\pi r^2(2r)=\frac23\pi r^3$
Bola	$\frac43\pi r^3$
Tabung	$\pi r^2(2r)=2\pi r^3$

Perbandingan volume kerucut : bola : tabung adalah $1:2:3$. Jadi bola yang pas masuk ke dalam tabung mengisi dua pertiga ruang tabung tersebut.

Jaring-jaring Tabung dan Kerucut

• Jaring-jaring tabung: dua lingkaran dan satu persegi panjang berukuran $2\pi r\times t$.
• Jaring-jaring kerucut: satu lingkaran dan satu juring berjari-jari $s$.

Pada visual kerucut di bawah, tekan Jaring-jaring lalu geser Buka jaring untuk melihat selimut berubah menjadi juring. Semakin tinggi kerucut, semakin sempit juringnya.

Contoh Soal Tabung dan Kerucut dan Pembahasan

Contoh 1: Volume dan luas permukaan tabung

Tabung berjari-jari 7 cm dan tinggi 10 cm.

1. $V=\frac{22}7\times7\times7\times10=154\times10=1.540\text{ cm}^3$.
2. $L_p=2\times\frac{22}7\times7\times(7+10)=44\times17=748\text{ cm}^2$.

Contoh 2: Kerucut dengan $\pi=3{,}14$

Kerucut berjari-jari 3 cm dan tinggi 4 cm.

1. Garis pelukis $s=\sqrt{9+16}=5$ cm.
2. $V=\frac13\times3{,}14\times9\times4=3{,}14\times12=37{,}68\text{ cm}^3$.
3. $L_p=3{,}14\times3\times(3+5)=3{,}14\times24=75{,}36\text{ cm}^2$.

Contoh 3: Ember tanpa tutup

Ember berbentuk tabung tanpa tutup berjari-jari 7 cm dan tinggi 20 cm. Luas bahan $=\pi r^2+2\pi rt=154+2\times\frac{22}7\times7\times20=154+880=1.034\text{ cm}^2$.

Contoh 4: Perbandingan volume

Tabung dan kerucut mempunyai jari-jari dan tinggi yang sama. Jika volume tabung $1.540\text{ cm}^3$, volume kerucut $=\frac13\times1.540\approx513{,}3\text{ cm}^3$.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Memakai tinggi $t$ sebagai garis pelukis $s$ pada luas selimut kerucut.
• Lupa faktor $\frac13$ pada volume kerucut.
• Menghitung dua lingkaran untuk wadah tanpa tutup.

Ringkasan

• Tabung: $V=\pi r^2t$, $L_p=2\pi r(r+t)$, selimut $2\pi rt$.
• Kerucut: $V=\frac13\pi r^2t$, $L_p=\pi r(r+s)$, $s=\sqrt{r^2+t^2}$.
• Jaring-jaring tabung: 2 lingkaran + 1 persegi panjang. Kerucut: 1 lingkaran + 1 juring.

Materi Terkait

Bandingkan dengan pasangan sisi datarnya di rumus prisma dan limas. Garis pelukis memakai teorema Pythagoras. Di jenjang kuliah, rumus volume kerucut dibuktikan dengan integral tentu melalui volume benda putar.

Sumber belajar

• OpenStax Prealgebra 2e — Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area
• Wikipedia bahasa Indonesia — Tabung
• Wikipedia bahasa Indonesia — Kerucut

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.