Teorema Pythagoras: Rumus, Tripel, dan Contoh Soal

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi siku-sikunya: $a^2+b^2=c^2$. Sisi miring $c$ adalah sisi di depan sudut siku-siku dan selalu menjadi sisi terpanjang. Contohnya, segitiga dengan sisi siku-siku 3 cm dan 4 cm mempunyai sisi miring $\sqrt{9+16}=5$ cm.

Apa Itu Teorema Pythagoras?

Teorema ini dinamai menurut Pythagoras, matematikawan Yunani kuno, walaupun hubungan yang sama sudah dipakai oleh bangsa-bangsa lain jauh sebelumnya. Teorema Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku.

Pada segitiga siku-siku ada dua jenis sisi:

• Sisi siku-siku ($a$ dan $b$): dua sisi yang bertemu membentuk sudut 90°.
• Sisi miring atau hipotenusa ($c$): sisi di hadapan sudut 90°.

Langkah pertama setiap soal adalah menandai sudut siku-siku, lalu menentukan sisi miringnya.

Mengapa Rumus Pythagoras Benar?

Bayangkan persegi besar dengan sisi $a+b$. Di dalamnya, letakkan empat segitiga siku-siku yang sama di setiap sudut sehingga bagian tengahnya membentuk persegi miring bersisi $c$.

Luas persegi besar dapat dihitung dengan dua cara:

Ruas kiri sama dengan $a^2+2ab+b^2$, ruas kanan $2ab+c^2$. Kurangi $2ab$ dari kedua ruas, maka $a^2+b^2=c^2$. Jadi rumus ini membandingkan luas persegi pada setiap sisi, bukan menjumlahkan panjang sisi.

Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan asli yang memenuhi $a^2+b^2=c^2$. Menghafal beberapa tripel membuat perhitungan jauh lebih cepat.

Tripel dasar	Cek	Kelipatan
3, 4, 5	$9+16=25$	6, 8, 10 dan 9, 12, 15
5, 12, 13	$25+144=169$	10, 24, 26
8, 15, 17	$64+225=289$	16, 30, 34
7, 24, 25	$49+576=625$	14, 48, 50

Kelipatan tripel juga tripel. Jika 3, 4, 5 dikalikan 2, hasilnya 6, 8, 10, dan $36+64=100$ tetap benar.

Menentukan Jenis Segitiga dengan Kebalikan Teorema Pythagoras

Jika $c$ adalah sisi terpanjang dari sebuah segitiga, bandingkan $c^2$ dengan $a^2+b^2$:

• $c^2=a^2+b^2$ → segitiga siku-siku;
• $c^2<a^2+b^2$ → segitiga lancip;
• $c^2>a^2+b^2$ → segitiga tumpul.

Contoh: sisi 6, 7, 9. $9^2=81$, sedangkan $6^2+7^2=85$. Karena $81<85$, segitiga itu lancip.

Pythagoras dalam Bangun Ruang

Teorema Pythagoras sering dipakai pada bangun ruang:

• Diagonal sisi kubus bersisi $s$: $\sqrt{s^2+s^2}=s\sqrt2$.
• Diagonal ruang balok: $d=\sqrt{p^2+l^2+t^2}$. Rumus ini didapat dengan memakai Pythagoras dua kali: pertama pada alas, lalu dengan tinggi.
• Prisma segitiga siku-siku: lebar sisi tegak yang miring sama dengan sisi miring segitiga alas.

Visual prisma di bawah memperlihatkan segitiga siku-siku sebagai sisi prisma, lengkap dengan tanda sudutnya.

Contoh Soal Teorema Pythagoras dan Pembahasan

Contoh 1: Diagonal lapangan

Lapangan persegi panjang berukuran 8 m × 15 m. Berapa jarak lurus antara dua sudut yang berhadapan?

1. Diagonal adalah sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi 8 dan 15.
2. $c^2=8^2+15^2=64+225=289$.
3. $c=\sqrt{289}=17$ m.

Contoh 2: Tangga bersandar

Tangga 10 m bersandar pada dinding tegak. Kaki tangga berjarak 6 m dari dinding. Berapa tinggi ujung tangga?

1. Tangga adalah sisi miring, jadi cari sisi siku-siku.
2. $h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ m.

Contoh 3: Diagonal ruang balok

Balok berukuran 3 cm × 4 cm × 12 cm. Diagonal alasnya $\sqrt{9+16}=5$ cm. Diagonal ruangnya $\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ cm. Hasilnya sama dengan $\sqrt{3^2+4^2+12^2}$.

Contoh 4: Jarak dua titik pada bidang koordinat

Berapa jarak titik $A(1,2)$ ke $B(4,6)$? Selisih mendatar $4-1=3$ dan selisih tegak $6-2=4$ menjadi dua sisi siku-siku. Jaraknya $\sqrt{3^2+4^2}=5$ satuan. Rumus umumnya $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Menjumlahkan panjang langsung: sisi miring 3-4 bukan 7.
• Lupa mengambil akar sehingga menjawab 25, bukan 5.
• Memakai rumus pada segitiga yang tidak siku-siku.

Ringkasan

• Berlaku hanya pada segitiga siku-siku: $c^2=a^2+b^2$, dengan $c$ sisi miring.
• Sisi miring: jumlahkan kuadrat lalu akarkan; sisi siku-siku: kurangkan kuadrat lalu akarkan.
• Hafalkan tripel 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 beserta kelipatannya.
• Diagonal ruang balok $\sqrt{p^2+l^2+t^2}$.

Materi Terkait

Pythagoras dipakai untuk mencari tinggi sisi tegak di rumus prisma dan limas dan garis pelukis di rumus tabung dan kerucut. Jarak dua titik pada persamaan garis lurus dan panjang vektor 3 dimensi juga lahir dari teorema ini.

Sumber belajar

• OpenStax Prealgebra 2e — Use Properties of Angles, Triangles, and the Pythagorean Theorem
• Wikipedia bahasa Indonesia — Teorema Pythagoras

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.