Rumus Prisma dan Limas: Volume dan Luas Permukaan

Rumus volume prisma adalah luas alas × tinggi, sedangkan rumus volume limas adalah $\frac13$ × luas alas × tinggi. Luas permukaan prisma adalah $2\times$ luas alas + keliling alas × tinggi, sedangkan luas permukaan limas adalah luas alas + jumlah luas sisi tegak. Prisma dan limas termasuk bangun ruang sisi datar yang dipelajari di SMP kelas 8.

Apa Itu Prisma dan Limas?

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi dua bidang sejajar yang kongruen (alas dan tutup) serta sisi-sisi tegak berbentuk persegi panjang. Nama prisma mengikuti bentuk alasnya: prisma segitiga, prisma segi empat, prisma segi enam, dan seterusnya. Balok dan kubus adalah prisma segi empat.

Limas adalah bangun ruang dengan satu alas berbentuk segi banyak dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga yang bertemu di satu titik puncak. Namanya juga mengikuti alas: limas segitiga, limas segi empat, dan seterusnya. Piramida Mesir berbentuk limas segi empat.

Sifat-sifat Prisma dan Limas

Untuk alas segi-$n$, banyak sisi, rusuk, dan titik sudut mengikuti pola berikut.

Bangun	Sisi	Rusuk	Titik sudut
Prisma segi-$n$	$n+2$	$3n$	$2n$
Prisma segitiga	5	9	6
Prisma segi lima	7	15	10
Limas segi-$n$	$n+1$	$2n$	$n+1$
Limas segitiga	4	6	4
Limas segi empat	5	8	5

Semua baris memenuhi rumus Euler $S+T-R=2$. Contohnya prisma segitiga: $5+6-9=2$.

Rumus Volume Prisma dan Limas

Volume prisma dihitung seperti balok: lapisan alas ditumpuk setinggi $t$.

Untuk prisma segitiga dengan alas segitiga beralas $a$ dan tinggi segitiga $t_\triangle$: $V=\frac12\times a\times t_\triangle\times t_{\text{prisma}}$.

Volume limas hanya sepertiga volume prisma yang alas dan tingginya sama:

Mengapa sepertiga? Bayangkan kubus bersisi $s$ dibagi dari titik pusatnya menjadi 6 limas yang sama. Setiap limas beralas $s^2$ dan tingginya $\frac s2$. Volume satu limas $=\frac{s^3}{6}$, dan ini sama dengan $\frac13\times s^2\times\frac s2$.

Rumus Luas Permukaan Prisma dan Limas

Prisma: dua alas ditambah sisi-sisi tegak. Semua sisi tegak bersama-sama membentuk satu persegi panjang selebar keliling alas dan setinggi prisma. Jadi $L_p=2L_{\text{alas}}+K_{\text{alas}}\times t$.

Limas: alas ditambah semua segitiga sisi tegak. Pada limas segi empat beraturan bersisi alas $s$, tinggi segitiga sisi tegak (apotema) dicari dengan Pythagoras:

Jaring-jaring Prisma dan Limas

Jaring-jaring prisma segitiga terdiri dari 2 segitiga (alas dan tutup) dan 3 persegi panjang (sisi tegak). Jaring-jaring limas segi empat terdiri dari 1 persegi sebagai alas dan 4 segitiga yang menempel di setiap sisi alas, mirip bintang berkaki empat.

Pada visual limas di bawah, tekan Jaring-jaring dan geser Buka jaring untuk melihat empat segitiga merebah keluar dari alas persegi.

Contoh Soal Prisma dan Limas dan Pembahasan

Contoh 1: Prisma segitiga siku-siku

Alas prisma berupa segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 6 cm dan 8 cm. Tinggi prisma 10 cm.

1. Luas alas $=\frac12\times6\times8=24\text{ cm}^2$.
2. Volume $=24\times10=240\text{ cm}^3$.
3. Sisi miring alas $=\sqrt{36+64}=10$ cm, jadi keliling alas $=6+8+10=24$ cm.
4. Luas permukaan $=2\times24+24\times10=48+240=288\text{ cm}^2$.

Contoh 2: Limas segi empat beraturan

Alas persegi bersisi 10 cm dan tinggi limas 12 cm.

1. Volume $=\frac13\times100\times12=400\text{ cm}^3$.
2. Tinggi sisi tegak $=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$ cm.
3. Luas satu segitiga $=\frac12\times10\times13=65\text{ cm}^2$.
4. Luas permukaan $=100+4\times65=360\text{ cm}^2$.

Contoh 3: Mencari tinggi limas

Limas beralas persegi bersisi 6 cm bervolume $96\text{ cm}^3$. Dari $V=\frac13L_{\text{alas}}t$: $t=\frac{3V}{L_{\text{alas}}}=\frac{288}{36}=8$ cm.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Lupa faktor $\frac13$ pada volume limas.
• Memakai $p\times l\times t$ untuk prisma segitiga, padahal alasnya segitiga.
• Hanya menghitung satu alas pada luas permukaan prisma.

Ringkasan

• Prisma: $V=L_{\text{alas}}\times t$, $L_p=2L_{\text{alas}}+K_{\text{alas}}\times t$.
• Limas: $V=\frac13L_{\text{alas}}\times t$, $L_p=L_{\text{alas}}+$ jumlah luas sisi tegak.
• Prisma segi-$n$: $n+2$ sisi, $3n$ rusuk, $2n$ titik sudut. Limas segi-$n$: $n+1$ sisi, $2n$ rusuk, $n+1$ titik sudut.

Materi Terkait

Prisma adalah perluasan dari rumus volume balok. Tinggi sisi tegak limas dihitung dengan teorema Pythagoras. Versi bangun ruang sisi lengkung dari prisma dan limas adalah tabung dan kerucut, dibahas di rumus tabung dan kerucut.

Sumber belajar

• OpenStax Prealgebra 2e — Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area
• Wikipedia bahasa Indonesia — Prisma (geometri)
• Wikipedia bahasa Indonesia — Limas

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.