Vektor 3 Dimensi dan Dot Product (Perkalian Titik)

Vektor 3 dimensi adalah vektor dengan tiga komponen, $\mathbf u=\langle u_x,u_y,u_z\rangle$, yang panjangnya $|\mathbf u|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$. Dot product atau perkalian titik dua vektor adalah $\mathbf u\cdot\mathbf v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z=|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta$, hasilnya berupa skalar. Dot product nol menandakan dua vektor bukan nol saling tegak lurus.

Apa Itu Vektor 3 Dimensi?

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Di ruang tiga dimensi, vektor ditulis dengan tiga komponen terhadap sumbu $x$, $y$, dan $z$ yang saling tegak lurus. Ada beberapa notasi yang setara:

Vektor $\langle1,2,2\rangle$ berarti bergerak 1 satuan ke arah $x$ positif, 2 ke arah $y$ positif, dan 2 ke arah $z$ positif. Vektor dari titik $A$ ke $B$ dihitung dengan $\overrightarrow{AB}=B-A$.

Penjumlahan vektor dilakukan per komponen, dan perkalian skalar mengalikan setiap komponen: $2\langle1,2,2\rangle=\langle2,4,4\rangle$.

Panjang Vektor 3 Dimensi dan Vektor Satuan

Panjang (norma) vektor diperoleh dengan teorema Pythagoras dua kali: pertama pada bidang $xy$, lalu dengan komponen $z$:

Vektor satuan searah $\mathbf u$ adalah $\hat{\mathbf u}=\frac{\mathbf u}{|\mathbf u|}$, panjangnya 1. Vektor nol tidak punya arah, jadi tidak dapat dinormalkan.

Sudut vektor terhadap sumbu-sumbu (kosinus arah) adalah $\cos\alpha=\frac{u_x}{|\mathbf u|}$, $\cos\beta=\frac{u_y}{|\mathbf u|}$, $\cos\gamma=\frac{u_z}{|\mathbf u|}$, dan selalu berlaku $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$.

Dot Product (Perkalian Titik): Rumus dan Makna

Dot product didefinisikan secara aljabar sebagai jumlah hasil kali komponen yang bersesuaian:

Secara geometri, $\mathbf u\cdot\mathbf v=|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta$, dengan $\theta$ sudut antara kedua vektor ($0\le\theta\le180^\circ$). Tanda dot product memberi informasi arah:

Dot product	Sudut $\theta$	Arti
positif	lancip ($<90^\circ$)	searah sebagian
nol	$90^\circ$	tegak lurus (untuk vektor bukan nol)
negatif	tumpul ($>90^\circ$)	berlawanan sebagian

Sifat penting: $\mathbf u\cdot\mathbf u=|\mathbf u|^2$, komutatif, dan distributif terhadap penjumlahan. Dalam fisika, dot product gaya dan perpindahan memberi usaha; materi itu dibahas di mapel Fisika.

Sudut antara Dua Vektor dan Syarat Tegak Lurus

Dari rumus geometri, sudut antara dua vektor bukan nol adalah

Dua vektor bukan nol tegak lurus jika dan hanya jika $\mathbf u\cdot\mathbf v=0$. Syarat ini sering dipakai untuk mencari komponen yang belum diketahui.

Proyeksi Vektor

Proyeksi $\mathbf u$ pada $\mathbf v$ menjawab: "seberapa besar bagian $\mathbf u$ yang searah $\mathbf v$?"

• Proyeksi skalar (panjang proyeksi): $\dfrac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{|\mathbf v|}$
• Proyeksi vektor: $\dfrac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{|\mathbf v|^2}\,\mathbf v$

Tombol Proyeksi pada visual memperlihatkan proyeksi vektor ke bidang dan sumbu koordinat, yaitu kasus khusus ketika $\mathbf v$ adalah vektor satuan sumbu.

Perkalian Titik dan Perkalian Silang: Apa Bedanya?

Selain dot product, vektor 3 dimensi juga mempunyai perkalian silang (cross product) $\mathbf u\times\mathbf v$. Perbedaannya:

	Perkalian titik $\mathbf u\cdot\mathbf v$	Perkalian silang $\mathbf u\times\mathbf v$
Hasil	skalar (bilangan)	vektor
Besar	$\vert\mathbf u\vert\,\vert\mathbf v\vert\cos\theta$	$\vert\mathbf u\vert\,\vert\mathbf v\vert\sin\theta$
Bernilai nol jika	tegak lurus	sejajar
Kegunaan	sudut, proyeksi, usaha	vektor normal, luas jajargenjang

Perkalian silang hanya didefinisikan di ruang tiga dimensi dan hasilnya tegak lurus terhadap kedua vektor.

Contoh Soal Vektor 3 Dimensi dan Dot Product

Contoh 1: Panjang, vektor satuan, dan sudut terhadap sumbu

Untuk $\mathbf u=\langle1,2,2\rangle$: $|\mathbf u|=\sqrt{1+4+4}=3$, vektor satuannya $\langle\frac13,\frac23,\frac23\rangle$. Sudut terhadap sumbu $z$: $\cos\gamma=\frac23$, jadi $\gamma\approx48{,}2^\circ$.

Contoh 2: Menguji tegak lurus

$\mathbf v=\langle2,1,-2\rangle$. $\mathbf u\cdot\mathbf v=2+2-4=0$, dan keduanya bukan vektor nol. Jadi $\mathbf u\perp\mathbf v$. Cek: $|\mathbf u+\mathbf v|^2=|\langle3,3,0\rangle|^2=18=3^2+3^2$, sesuai Pythagoras.

Contoh 3: Sudut antara dua vektor

$\mathbf a=\langle1,1,0\rangle$ dan $\mathbf b=\langle1,0,1\rangle$. $\mathbf a\cdot\mathbf b=1$, $|\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt2$. Maka $\cos\theta=\frac1{2}$ dan $\theta=60^\circ$.

Contoh 4: Proyeksi

Proyeksi $\mathbf u=\langle2,3,1\rangle$ pada $\mathbf v=\langle1,1,1\rangle$: $\mathbf u\cdot\mathbf v=6$ dan $|\mathbf v|^2=3$. Proyeksi vektornya $2\langle1,1,1\rangle=\langle2,2,2\rangle$, dan proyeksi skalarnya $\frac6{\sqrt3}=2\sqrt3$.

Contoh 5: Mencari komponen

Tentukan $p$ agar $\langle p,2,-1\rangle$ tegak lurus $\langle3,1,4\rangle$. Syarat: $3p+2-4=0$, jadi $p=\frac23$.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Menjumlahkan komponen untuk mencari panjang: $|\langle2,-3,6\rangle|=7$, bukan $5$ atau $11$.
• Menaksir sudut dari gambar perspektif. Hitung dengan rumus kosinus.
• Menyimpulkan tegak lurus dari dot product nol padahal salah satu vektor adalah vektor nol.

Ringkasan

• $|\mathbf u|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}$; vektor satuan $\frac{\mathbf u}{|\mathbf u|}$.
• $\mathbf u\cdot\mathbf v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z=|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta$.
• Dot product nol ⇔ tegak lurus (vektor bukan nol).
• Proyeksi vektor $\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{|\mathbf v|^2}\mathbf v$.

Materi Terkait

Panjang vektor adalah teorema Pythagoras dalam tiga dimensi, sama seperti diagonal ruang balok. Konsep gradien dan perubahan dari definisi turunan diperluas ke banyak variabel memakai vektor.

Sumber belajar

• OpenStax Calculus Volume 3 — Vectors in Three Dimensions
• OpenStax Calculus Volume 3 — The Dot Product

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.