Rumus Peluang Kejadian Matematika dan Contoh Soal

Rumus peluang suatu kejadian adalah $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$, yaitu banyak hasil yang diinginkan dibagi banyak semua hasil yang mungkin, asalkan setiap hasil sama mungkin terjadi. Nilai peluang selalu di antara 0 dan 1. Contohnya, peluang muncul angka genap pada satu dadu adalah $\frac36=\frac12$.

Apa Itu Peluang?

Peluang mengukur seberapa mungkin suatu kejadian terjadi. Untuk menghitungnya, kita perlu dua istilah:

• Ruang sampel $S$: himpunan semua hasil yang mungkin. Satu dadu: $S=\{1,2,3,4,5,6\}$, jadi $n(S)=6$.
• Kejadian $A$: bagian dari ruang sampel yang memenuhi syarat. Angka prima: $A=\{2,3,5\}$, jadi $n(A)=3$.

Peluang 0 berarti mustahil (misalnya angka 7 pada dadu), dan peluang 1 berarti pasti terjadi.

Ruang Sampel Dua Koin dan Dua Dadu

Gunakan urutan agar tidak ada hasil yang terlewat. Dua koin (G = gambar, A = angka) mempunyai 4 hasil: GG, GA, AG, AA. GA dan AG berbeda, karena koin pertama dan kedua bisa dibedakan.

Dua dadu mempunyai $6\times6=36$ hasil. Tabel berikut membantu menghitung jumlah mata dadu:

Jumlah mata	Pasangan	Banyak
7	(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)	6
8	(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)	5
10	(4,6) (5,5) (6,4)	3

Peluang Komplemen dan Frekuensi Harapan

Komplemen $A^c$ berarti "A tidak terjadi". Karena keduanya mengisi seluruh ruang sampel, $P(A^c)=1-P(A)$. Cara ini sangat berguna untuk soal "paling sedikit satu".

Frekuensi harapan adalah perkiraan berapa kali kejadian muncul dalam $n$ percobaan: $F_h=P(A)\times n$. Jika dadu dilempar 120 kali, angka prima diharapkan muncul sekitar $\frac12\times120=60$ kali. Hasil nyata bisa sedikit berbeda; frekuensi harapan adalah perkiraan, bukan jaminan.

Peluang Kejadian Majemuk: Saling Lepas dan Saling Bebas

Untuk dua kejadian $A$ dan $B$:

• Saling lepas: $A$ dan $B$ tidak bisa terjadi bersamaan, jadi $P(A\cap B)=0$ dan $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
• Saling bebas: terjadinya $A$ tidak memengaruhi $B$, jadi $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

Pengambilan dengan dan tanpa Pengembalian

Jika benda diambil tanpa pengembalian, isi kantong berubah sehingga peluang tahap kedua ikut berubah. Peluang ini disebut peluang bersyarat:

Jika benda dikembalikan, isi kantong kembali seperti semula dan kedua pengambilan saling bebas.

Kombinasi untuk Menghitung Ruang Sampel yang Besar

Jika hasilnya terlalu banyak untuk didaftar, gunakan kombinasi. Banyak cara memilih $r$ benda dari $n$ benda tanpa memperhatikan urutan adalah

Contoh: dari 5 bola (3 merah, 2 biru) diambil 2 sekaligus. Semua kemungkinan $C(5,2)=10$, dan kemungkinan keduanya merah $C(3,2)=3$. Peluangnya $\frac3{10}$, sama dengan hasil cara bertahap pada Contoh 4 di bawah. Jika urutan diperhatikan, misalnya memilih ketua dan wakil, gunakan permutasi $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$.

Contoh Soal Peluang dan Pembahasan

Contoh 1: Jumlah dua dadu

Dua dadu dilempar. Peluang jumlah mata 7 adalah $\frac6{36}=\frac16$, karena ada 6 pasangan dari tabel di atas.

Contoh 2: Paling sedikit satu gambar

Dua koin dilempar. Komplemen dari "paling sedikit satu gambar" adalah AA, dengan peluang $\frac14$. Jadi peluangnya $1-\frac14=\frac34$.

Contoh 3: Kartu as atau hati

Dari 52 kartu remi, ambil satu. $P(\text{as})=\frac4{52}$, $P(\text{hati})=\frac{13}{52}$, dan as hati dihitung dua kali, $\frac1{52}$. Maka $P=\frac{4+13-1}{52}=\frac{16}{52}=\frac4{13}$.

Contoh 4: Bola tanpa pengembalian

Kantong berisi 3 bola merah dan 2 biru. Dua bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Peluang keduanya merah $=\frac35\times\frac24=\frac6{20}=\frac3{10}$. Jika bola pertama dikembalikan, peluangnya menjadi $\frac35\times\frac35=\frac9{25}$.

Contoh 5: Frekuensi harapan

Sebuah dadu dilempar 120 kali. Peluang muncul angka prima (2, 3, atau 5) adalah $\frac36=\frac12$, sehingga frekuensi harapannya $\frac12\times120=60$ kali. Jika hasil nyata 57 atau 63 kali, itu wajar karena percobaan acak selalu sedikit bervariasi.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Menggabungkan GA dan AG menjadi satu hasil.
• Tetap memakai penyebut awal setelah benda diambil tanpa pengembalian.
• Menghitung irisan dua kali pada kejadian yang tidak saling lepas.

Ringkasan

• $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ untuk hasil yang sama mungkin; $0\le P(A)\le1$.
• $P(A^c)=1-P(A)$; frekuensi harapan $F_h=P(A)\times n$.
• Gabungan: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
• Tanpa pengembalian: kalikan peluang tiap tahap dengan isi kantong yang sudah berubah.

Materi Terkait

Peluang selalu berbentuk pecahan, jadi pastikan lancar penjumlahan pecahan. Peluang percobaan berulang, misalnya tiga kali berturut-turut muncul gambar, yaitu $\left(\frac12\right)^3=\frac18$, memakai perpangkatan dari eksponen dan logaritma. Di kuliah, peluang variabel kontinu dihitung dengan integral tentu.

Sumber belajar

• OpenStax Introductory Statistics 2e — Terminology
• OpenStax Introductory Statistics 2e — Independent and Mutually Exclusive Events

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.