Eksponen dan Logaritma: Sifat, Rumus, dan Contoh Soal

Eksponen (perpangkatan) adalah perkalian berulang, misalnya $2^3=2\times2\times2=8$. Logaritma adalah kebalikan eksponen: logaritma mencari pangkatnya. Karena $2^3=8$, maka $\log_2 8=3$ (di buku sekolah sering ditulis ²log 8 = 3). Secara umum, $\log_a b=c$ berarti $a^c=b$, dengan $a>0$, $a\ne1$, dan $b>0$. Keduanya dipelajari di SMA kelas 10.

Apa Itu Eksponen?

Pada $a^n$, $a$ disebut basis dan $n$ disebut pangkat atau eksponen. Pola eksponensial muncul ketika sesuatu dikalikan dengan faktor yang sama setiap langkah, misalnya bakteri yang membelah dua setiap jam. Bandingkan dengan pola linear yang ditambah jumlah tetap setiap langkah.

Beberapa pangkat khusus:

• $a^0=1$ untuk $a\ne0$.
• $a^{-n}=\frac1{a^n}$. Pangkat negatif berarti kebalikan, bukan bilangan negatif: $2^{-3}=\frac18$.
• $a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$. Pangkat pecahan berarti akar: $8^{\frac13}=2$.

Sifat-sifat Eksponen

Sifat	Rumus	Contoh
Perkalian	$a^m\times a^n=a^{m+n}$	$2^3\times2^4=2^7$
Pembagian	$a^m:a^n=a^{m-n}$	$5^6:5^2=5^4$
Pangkat dari pangkat	$(a^m)^n=a^{mn}$	$(3^2)^3=3^6$
Pangkat perkalian	$(ab)^n=a^nb^n$	$(2x)^3=8x^3$
Pangkat pembagian	$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$	$\left(\frac23\right)^2=\frac49$

Apa Itu Logaritma?

Logaritma menjawab pertanyaan: "basis $a$ harus dipangkatkan berapa agar hasilnya $b$?" Pada $\log_a b=c$, $a$ adalah basis, $b$ adalah numerus (harus positif), dan $c$ adalah hasil logaritma.

• Jika basis tidak ditulis, basisnya 10: $\log1000=3$.
• Logaritma natural $\ln x$ memakai basis $e\approx2{,}718$.
• Basis 1 tidak boleh karena $1^c$ selalu 1.

Sifat-sifat Logaritma

Untuk $a>0$, $a\ne1$, dan numerus positif:

Sifat	Rumus
Logaritma basisnya sendiri	$\log_a a=1$ dan $\log_a 1=0$
Perkalian	$\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c$
Pembagian	$\log_a\frac bc=\log_a b-\log_a c$
Pangkat	$\log_a b^n=n\log_a b$
Pangkat pada basis	$\log_{a^m}b^n=\frac nm\log_a b$
Ganti basis	$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$
Kebalikan	$a^{\log_a b}=b$

Sifat perkalian logaritma berasal dari sifat perkalian eksponen: mengalikan dua pangkat berbasis sama berarti menjumlahkan pangkatnya.

Grafik Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma

Fungsi eksponen $y=a^x$ dan fungsi logaritma $y=\log_a x$ saling invers. Grafiknya merupakan cerminan satu sama lain terhadap garis $y=x$.

Ciri	$y=a^x$	$y=\log_a x$
Domain	semua bilangan real	$x>0$
Selalu melalui	$(0,1)$	$(1,0)$
Asimtot	sumbu $x$ ($y=0$)	sumbu $y$ ($x=0$)
Untuk $a>1$	naik	naik

Jika $0<a<1$, kedua grafik turun. Bandingkan dengan $y=x^2$: pada awalnya $2^x$ tumbuh lebih lambat, tetapi untuk $x$ besar jauh melampauinya, misalnya $2^{10}=1.024$ sedangkan $10^2=100$.

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponen dan Logaritma

Persamaan eksponen: samakan basis kedua ruas, lalu samakan pangkatnya. Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, maka $f(x)=g(x)$.

Persamaan logaritma:

1. Tulis syarat numerus: ekspresi di dalam log harus positif.
2. Ubah ke bentuk eksponen memakai definisi.
3. Selesaikan, lalu periksa apakah jawaban memenuhi syarat.

Contoh Soal Eksponen dan Logaritma

Contoh 1: Menyederhanakan eksponen

$\frac{2^3\times2^5}{2^4}=2^{3+5-4}=2^4=16$.

Contoh 2: Sifat logaritma

$\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5$. Cek: $\log_2 8=3$ dan $\log_2 4=2$, jumlahnya 5.

Contoh 3: Persamaan eksponen

Selesaikan $3^{x+1}=81$. Karena $81=3^4$, maka $x+1=4$ dan $x=3$.

Contoh 4: Persamaan logaritma

Selesaikan $\log_3(x-2)=2$.

1. Syarat: $x-2>0$, jadi $x>2$.
2. $x-2=3^2=9$, sehingga $x=11$.
3. Cek: $11>2$ dan $\log_3 9=2$. Benar.

Contoh 5: Waktu penggandaan

Populasi 250 unit menjadi dua kali lipat setiap jam. Kapan menjadi 2.000? Dari $250\cdot2^t=2.000$ diperoleh $2^t=8$, jadi $t=\log_2 8=3$ jam.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Menganggap $2^{-3}$ bernilai negatif. Hasilnya $\frac18$, tetap positif.
• Menulis $a^m\times a^n=a^{mn}$. Yang benar, pangkatnya dijumlahkan.
• Lupa memeriksa syarat numerus.

Ringkasan

• $\log_a b=c\iff a^c=b$; syarat $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
• Eksponen: perkalian → pangkat dijumlah, pembagian → pangkat dikurang, pangkat dari pangkat → dikali.
• Logaritma: log perkalian = jumlah log, log pembagian = selisih log, log pangkat = pangkat × log.

Materi Terkait

Pangkat sudah kamu kenal dari rumus volume kubus ($s^3$). Grafik yang tumbuh dengan cara berbeda dibahas di fungsi kuadrat. Di kuliah, turunan $e^x$ dan $\ln x$ dihitung dari definisi turunan dengan limit.

Sumber belajar

• OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Exponential Functions
• OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Logarithmic Functions
• OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Logarithmic Properties

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.