Definisi Turunan dengan Limit dan Garis Singgung

Definisi turunan fungsi $f$ di titik $x$ adalah $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, asalkan limit itu ada. Turunan mengukur laju perubahan sesaat dan sama dengan gradien garis singgung grafik di titik tersebut. Contohnya, untuk $f(x)=x^2$, definisi limit menghasilkan $f'(x)=2x$. Semua rumus turunan cepat yang biasa dihafal berasal dari definisi ini.

Apa Itu Turunan? Dari Laju Rata-rata ke Laju Sesaat

Misalkan $f(t)$ adalah posisi benda (meter) pada waktu $t$ (sekon). Laju rata-rata antara $t=a$ dan $t=a+h$ adalah

Pada grafik, nilai ini adalah gradien garis sekan yang melalui dua titik kurva. Untuk mendapatkan laju tepat pada saat $a$, perkecil $h$ menuju nol. Jika hasil bagi dari kiri ($h<0$) dan kanan ($h>0$) mendekati nilai yang sama, nilai itu adalah turunan. Garis sekan berubah menjadi garis singgung.

Notasi turunan yang sering dipakai: $f'(x)$, $y'$, $\frac{dy}{dx}$, dan $\frac{d}{dx}f(x)$.

Cara Mencari Turunan dengan Definisi Limit

1. Tulis $f(x+h)$ dengan mengganti setiap $x$ menjadi $x+h$.
2. Hitung selisih $f(x+h)-f(x)$ dan sederhanakan.
3. Bagi dengan $h$, dengan anggapan $h\ne0$. Faktor $h$ biasanya habis.
4. Ambil limit $h\to0$.

Turunan sebagai Gradien Garis Singgung

Jika $f'(a)$ ada, garis singgung grafik di titik $(a,f(a))$ adalah

Garis singgung juga memberi pendekatan linear untuk perubahan kecil: $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$. Tanda turunan menunjukkan arah: $f'>0$ fungsi naik, $f'<0$ turun, dan $f'=0$ garis singgung mendatar. Namun $f'(a)=0$ tidak otomatis berarti maksimum atau minimum: $x^3$ mempunyai turunan nol di $x=0$ tetapi tetap naik.

Aturan Turunan yang Lahir dari Definisi

Aturan cepat yang biasa dihafal sebenarnya diturunkan dari definisi limit:

Fungsi	Turunan	Catatan
$c$ (konstanta)	$0$	selisihnya selalu nol
$x^n$	$nx^{n-1}$	dari ekspansi binomial $(x+h)^n$
$cf(x)$	$cf'(x)$	konstanta keluar dari limit
$f(x)+g(x)$	$f'(x)+g'(x)$	limit jumlah = jumlah limit

Aturan perkalian, pembagian, dan rantai juga dibuktikan dari definisi yang sama.

Tafsiran Turunan: Kecepatan, Percepatan, dan Laju Marjinal

Arti turunan bergantung pada besaran yang diturunkan. Satuannya selalu satuan keluaran per satuan masukan.

• Jika $s(t)$ adalah posisi, $s'(t)$ adalah kecepatan (m/s), dan turunan kecepatan adalah percepatan (m/s²).
• Jika $V(r)$ adalah volume bola, $V'(r)=4\pi r^2$ adalah laju perubahan volume terhadap jari-jari, yang ternyata sama dengan luas permukaan bola.
• Jika $B(q)$ adalah biaya produksi $q$ barang, $B'(q)$ disebut biaya marjinal: perkiraan biaya tambahan untuk satu barang berikutnya.

Membaca satuan turunan membantu memeriksa apakah tafsiranmu masuk akal.

Kapan Turunan Tidak Ada?

Fungsi yang diferensiabel (punya turunan) di suatu titik pasti kontinu di titik itu. Kebalikannya tidak selalu benar. Pada $f(x)=|x|$ di $x=0$, hasil bagi $\frac{|h|}{h}$ bernilai $1$ untuk $h>0$ dan $-1$ untuk $h<0$. Limit kiri dan kanan berbeda, jadi turunan di nol tidak ada, walaupun fungsi kontinu. Secara grafik, ada sudut tajam. Turunan juga tidak ada pada titik dengan garis singgung tegak, seperti $\sqrt[3]{x}$ di nol.

Contoh Soal Definisi Turunan dan Pembahasan

Contoh 1: Fungsi polinom

Cari turunan $f(x)=x^2+3x$ dengan definisi.

1. $f(x+h)=x^2+2xh+h^2+3x+3h$.
2. $f(x+h)-f(x)=2xh+h^2+3h$.
3. Bagi $h$: $2x+h+3$.
4. Limit $h\to0$: $f'(x)=2x+3$.

Di $x=1$: $f(1)=4$ dan $f'(1)=5$, jadi garis singgungnya $y-4=5(x-1)$ atau $y=5x-1$.

Contoh 2: Fungsi pecahan

Cari turunan $f(x)=\frac1x$ untuk $x\ne0$.

Limit $h\to0$ menghasilkan $f'(x)=-\frac1{x^2}$.

Contoh 3: Fungsi akar

Cari turunan $f(x)=\sqrt x$ untuk $x>0$. Kalikan dengan bentuk sekawan:

Limitnya $f'(x)=\frac1{2\sqrt x}$.

Contoh 4: Kecepatan sesaat

Posisi $s(t)=t^2+2t$ meter. Dari definisi, $s'(t)=2t+2$, jadi kecepatan pada $t=3$ adalah 8 m/s. Bandingkan kecepatan rata-rata pada $[3;3{,}1]$: $\frac{s(3{,}1)-s(3)}{0{,}1}=\frac{15{,}81-15}{0{,}1}=8{,}1$ m/s, yang mendekati 8.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Menyamakan $f(a)$ dengan $f'(a)$. Yang pertama nilai fungsi, yang kedua laju perubahannya; satuannya pun berbeda.
• Menulis $f(x+h)=f(x)+h$. Substitusi harus dilakukan pada setiap $x$ di dalam rumus.
• Mengira fungsi kontinu pasti punya turunan.

Ringkasan

• Turunan adalah limit hasil bagi selisih: $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$.
• Turunan = laju perubahan sesaat = gradien garis singgung.
• Garis singgung di $(a,f(a))$: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.
• Diferensiabel ⇒ kontinu, tetapi kontinu belum tentu diferensiabel.

Materi Terkait

Gradien garis singgung adalah perluasan gradien di persamaan garis lurus. Turunan dipakai untuk mencari puncak fungsi kuadrat tanpa rumus $-\frac b{2a}$. Kebalikan turunan adalah antiturunan, yang dipakai di integral tentu.

Sumber belajar

• OpenStax Calculus Volume 1 — Defining the Derivative

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.