Persamaan Garis Lurus dan Rumus Gradien + Contoh Soal

Persamaan garis lurus adalah persamaan yang grafiknya berupa garis lurus, umumnya ditulis $y=mx+c$. Huruf $m$ adalah gradien (kemiringan garis) dan $c$ adalah titik potong garis dengan sumbu $y$, yaitu titik $(0,c)$. Gradien dari dua titik dihitung dengan $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Materi ini dipelajari di SMP kelas 8.

Apa Itu Persamaan Garis Lurus?

Bayangkan isi bak air bertambah 2 liter setiap menit, dan awalnya sudah berisi 3 liter. Isi bak setelah $x$ menit adalah $y=2x+3$. Setiap $x$ naik 1, $y$ naik 2. Perubahan yang tetap inilah ciri garis lurus.

Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam dua bentuk:

• Bentuk eksplisit $y=mx+c$, gradiennya langsung terbaca: $m$.
• Bentuk implisit $ax+by+c=0$, gradiennya $m=-\frac{a}{b}$.

Contoh: $2x+3y-6=0$ dapat diubah menjadi $y=-\frac23x+2$, jadi gradiennya $-\frac23$.

Rumus Gradien

Gradien menyatakan perbandingan perubahan $y$ terhadap perubahan $x$:

Arti tanda gradien:

Gradien	Bentuk garis
$m>0$	naik dari kiri ke kanan
$m<0$	turun dari kiri ke kanan
$m=0$	mendatar (sejajar sumbu $x$)
tidak terdefinisi	tegak (sejajar sumbu $y$), misalnya $x=3$

Gradien garis sejajar dan tegak lurus

• Dua garis sejajar mempunyai gradien sama: $m_1=m_2$.
• Dua garis tegak lurus memenuhi $m_1\times m_2=-1$. Jadi jika $m_1=2$, maka $m_2=-\frac12$.

Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus

Jika diketahui gradien dan satu titik, pakai $y-y_1=m(x-x_1)$, lalu sederhanakan.

Jika diketahui dua titik, ada dua cara:

1. Hitung gradien dengan $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
2. Masukkan gradien dan salah satu titik ke $y-y_1=m(x-x_1)$.
3. Cek dengan titik kedua: harus memenuhi persamaan.

Cara Menggambar Grafik Garis Lurus

1. Cari titik potong sumbu $y$: substitusi $x=0$.
2. Cari titik potong sumbu $x$: substitusi $y=0$.
3. Gambar kedua titik pada bidang Kartesius, lalu hubungkan dengan garis lurus.
4. Cek dengan titik ketiga agar tidak salah hitung.

Arti Gradien dalam Kehidupan Sehari-hari

Gradien adalah laju perubahan. Satuannya adalah satuan $y$ per satuan $x$. Beberapa situasi yang dapat dimodelkan dengan garis lurus:

• Tarif taksi: biaya buka pintu Rp7.000 dan Rp5.000 per km dimodelkan $y=5x+7$ (dalam ribuan rupiah). Gradien 5 berarti biaya naik Rp5.000 setiap km.
• Tabungan: saldo awal Rp200.000 dan menabung Rp50.000 per minggu memberi $y=50x+200$.
• Lilin yang terbakar: tinggi 20 cm dan memendek 2 cm per jam memberi $y=-2x+20$. Gradien negatif berarti nilainya berkurang.

Jika kamu dapat menjelaskan arti $m$ dan $c$ dalam cerita, kamu sudah memahami persamaan garis lurus, bukan sekadar menghafalnya.

Contoh Soal Persamaan Garis Lurus dan Pembahasan

Contoh 1: Gradien dari dua titik

Tentukan gradien garis yang melalui $(2,5)$ dan $(4,9)$.

$m=\frac{9-5}{4-2}=\frac42=2$. Artinya, setiap $x$ naik 1, $y$ naik 2.

Contoh 2: Persamaan garis melalui dua titik

Tentukan persamaan garis melalui $(1,3)$ dan $(3,7)$.

1. $m=\frac{7-3}{3-1}=2$.
2. $y-3=2(x-1)$, sehingga $y=2x+1$.
3. Cek titik kedua: $2(3)+1=7$. Benar.

Contoh 3: Garis tegak lurus

Tentukan garis yang melalui $(2,1)$ dan tegak lurus $y=2x+5$.

1. Gradien garis awal 2, jadi gradien garis baru $-\frac12$.
2. $y-1=-\frac12(x-2)$, sehingga $y=-\frac12x+2$.

Contoh 4: Titik potong sumbu

Untuk $y=-2x+4$: titik potong sumbu $y$ adalah $(0,4)$. Untuk sumbu $x$, $0=-2x+4$, jadi $x=2$ dan titiknya $(2,0)$.

Contoh 5: Garis sejajar

Tentukan garis yang melalui $(0,-1)$ dan sejajar $y=3x+2$. Garis sejajar bergradien sama, yaitu 3. Titik $(0,-1)$ adalah titik potong sumbu $y$, jadi $c=-1$ dan persamaannya $y=3x-1$.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Menganggap $c$ sebagai titik potong sumbu $x$. Padahal $(0,c)$ ada di sumbu $y$.
• Membaca gradien $2x+3y-6=0$ sebagai 2. Ubah dulu ke bentuk $y=mx+c$.
• Membalik rasio menjadi $\frac{\Delta x}{\Delta y}$.

Ringkasan

• Bentuk umum $y=mx+c$: $m$ gradien, $(0,c)$ titik potong sumbu $y$.
• Gradien dua titik $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$; bentuk $ax+by+c=0$ bergradien $-\frac ab$.
• Sejajar: $m_1=m_2$. Tegak lurus: $m_1\times m_2=-1$.
• Persamaan melalui satu titik: $y-y_1=m(x-x_1)$.

Materi Terkait

Setelah garis lurus, pelajari grafik melengkung di fungsi kuadrat. Di jenjang kuliah, gradien garis singgung dihitung dengan definisi turunan. Jarak antara dua titik pada bidang koordinat memakai teorema Pythagoras.

Sumber belajar

• OpenStax Elementary Algebra 2e — Understand Slope of a Line
• OpenStax Elementary Algebra 2e — Find the Equation of a Line

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.