Fungsi Kuadrat: Grafik, Titik Puncak, dan Contoh Soal

Fungsi kuadrat adalah fungsi berbentuk $f(x)=ax^2+bx+c$ dengan $a\ne0$, dan grafiknya berupa parabola. Parabola terbuka ke atas jika $a>0$ dan ke bawah jika $a<0$, sedangkan $c$ adalah titik potongnya dengan sumbu $y$. Titik balik parabola disebut titik puncak, dengan koordinat $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=-\frac{D}{4a}$, di mana $D=b^2-4ac$ adalah diskriminan.

Apa Itu Fungsi Kuadrat?

Fungsi kuadrat memasangkan setiap $x$ dengan satu nilai $ax^2+bx+c$. Pangkat tertinggi variabelnya dua. Fungsi ini dipelajari di SMA kelas 10 dan muncul di banyak masalah: lintasan bola, luas maksimum taman, dan keuntungan maksimum penjualan.

Fungsi kuadrat dapat ditulis dalam tiga bentuk, masing-masing memperlihatkan informasi berbeda:

Bentuk	Rumus	Informasi yang langsung terbaca
Umum	$ax^2+bx+c$	titik potong sumbu $y$: $(0,c)$
Faktor	$a(x-x_1)(x-x_2)$	akar atau titik potong sumbu $x$
Puncak	$a(x-x_p)^2+y_p$	titik puncak $(x_p,y_p)$

Pengaruh Nilai a, b, dan c pada Grafik

• Nilai $a$ menentukan arah buka dan kelebaran. $a>0$ terbuka ke atas (punya nilai minimum), $a<0$ terbuka ke bawah (punya nilai maksimum). Makin besar $|a|$, parabola makin sempit.
• Nilai $b$ bersama $a$ menentukan letak sumbu simetri. Jika $a$ dan $b$ bertanda sama, puncak ada di kiri sumbu $y$; jika berbeda tanda, puncak ada di kanan.
• Nilai $c$ adalah titik potong dengan sumbu $y$, karena $f(0)=c$.

Rumus Titik Puncak dan Sumbu Simetri

Parabola simetris terhadap garis tegak $x=x_p$. Dua titik dengan jarak sama dari sumbu simetri mempunyai nilai $y$ sama. Rumusnya:

Cara paling aman adalah menghitung $x_p$ dulu, lalu substitusi ke fungsi untuk mendapat $y_p$. Bentuk puncak juga dapat diperoleh dengan melengkapkan kuadrat: $x^2-6x+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4$, jadi puncaknya $(3,-4)$.

Diskriminan dan Titik Potong Sumbu X

Titik potong sumbu $x$ diperoleh dari $f(x)=0$. Banyaknya ditentukan oleh diskriminan $D=b^2-4ac$:

• $D>0$: memotong sumbu $x$ di dua titik berbeda;
• $D=0$: menyinggung sumbu $x$ di satu titik (puncak tepat di sumbu $x$);
• $D<0$: tidak memotong sumbu $x$.

Jika $a>0$ dan $D<0$, grafik selalu di atas sumbu $x$ (definit positif). Jika $a<0$ dan $D<0$, grafik selalu di bawah sumbu $x$ (definit negatif).

Rumus ABC untuk Titik Potong Sumbu X

Jika fungsi sulit difaktorkan, pakai rumus ABC:

Contohnya $x^2-4x+1=0$: $D=16-4=12$, sehingga $x=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt3$. Kedua akar berjarak sama, yaitu $\sqrt3$, dari sumbu simetri $x=2$. Pola ini selalu terjadi karena rumus ABC dapat ditulis $x=-\frac b{2a}\pm\frac{\sqrt D}{2a}$.

Cara Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

1. Tentukan arah buka dari tanda $a$.
2. Cari titik potong sumbu $y$: $(0,c)$.
3. Cari titik potong sumbu $x$ dengan pemfaktoran atau rumus ABC, jika $D\ge0$.
4. Cari titik puncak dan sumbu simetri.
5. Gambar titik-titik itu, lalu hubungkan dengan kurva mulus yang simetris.

Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasan

Contoh 1: Akar dan puncak

Diberikan $f(x)=x^2-2x-3$.

1. Faktorkan: $(x-3)(x+1)=0$, jadi akarnya $x=3$ dan $x=-1$.
2. $x_p=-\frac{-2}{2(1)}=1$ dan $y_p=f(1)=1-2-3=-4$. Puncak $(1,-4)$.
3. Cek simetri: akar berjarak 2 dari $x=1$, dan $f(0)=f(2)=-3$.

Contoh 2: Luas taman maksimum

Taman persegi panjang dipagari 20 m. Jika lebarnya $x$, panjangnya $10-x$, dan luasnya $A(x)=x(10-x)=-x^2+10x$.

1. $a=-1<0$, jadi ada nilai maksimum.
2. $x_p=-\frac{10}{2(-1)}=5$, dan $A(5)=25$.
3. Luas maksimum $25\text{ m}^2$ saat taman berbentuk persegi 5 m × 5 m.

Contoh 3: Menyusun fungsi dari puncak

Parabola berpuncak $(2,-1)$ dan melalui $(0,3)$. Tulis $f(x)=a(x-2)^2-1$. Substitusi $(0,3)$: $3=4a-1$, jadi $a=1$. Fungsinya $f(x)=(x-2)^2-1=x^2-4x+3$.

Contoh 4: Grafik menyinggung sumbu x

Tentukan $c$ agar grafik $y=x^2-2x+c$ menyinggung sumbu $x$. Syaratnya $D=0$: $(-2)^2-4(1)(c)=0$, sehingga $4-4c=0$ dan $c=1$. Fungsinya $y=(x-1)^2$, berpuncak tepat di $(1,0)$.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Menentukan arah buka dari tanda $c$, padahal yang menentukan adalah $a$.
• Lupa tanda minus pada $-\frac b{2a}$.
• Pada soal cerita, lupa memeriksa bahwa nilai optimum berada di domain yang masuk akal.

Ringkasan

• $f(x)=ax^2+bx+c$, grafik parabola; $a$ menentukan arah buka.
• Puncak $\left(-\frac b{2a},-\frac D{4a}\right)$; sumbu simetri $x=-\frac b{2a}$.
• $D>0$ dua titik potong, $D=0$ menyinggung, $D<0$ tidak memotong sumbu $x$.
• Nilai maksimum/minimum fungsi adalah $y_p$.

Materi Terkait

Fungsi kuadrat adalah langkah berikutnya setelah persamaan garis lurus. Pertumbuhan yang jauh lebih cepat dari kuadrat dibahas di eksponen dan logaritma. Di kuliah, puncak parabola dicari dengan turunan: gradien garis singgung di puncak bernilai nol.

Sumber belajar

• OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Quadratic Functions

Penjelasan dan contoh disusun ulang untuk materi ini; sumber dapat dibuka untuk belajar lebih lanjut.