ONMIPA-PT 2025 Fisika Statistik: Fermion Dua Tingkat Energi

ONMIPA-PT 2025 Fisika Statistik: Fermion Dua Tingkat Energi

Soal ONMIPA-PT 2025 tingkat nasional, bidang Termodinamika & Fisika Statistik.

---

Soal 2 - Fermion dalam Sistem Dua Tingkat Energi [30 poin]

Tinjaulah sebuah sistem yang terdiri dari $N$ fermion identik (misalnya elektron) yang terperangkap dalam suatu sumur potensial yang sangat kecil. Karena ukurannya yang terbatas, sistem tersebut hanya memiliki dua tingkat energi tunggal yang tersedia untuk setiap fermion:

Setiap tingkat energi dapat menampung maksimal satu fermion sesuai dengan prinsip larangan Pauli. Sistem ini berada dalam kontak termal dan partikel dengan reservoir yang sangat besar, dikarakterisasi oleh suhu $T$ dan potensial kimia $\mu$. Diketahui kuantitas $k_B$ adalah konstanta Boltzmann.

Tentukan:

a. [8 poin] persamaan fundamental untuk potensial termodinamika besar $\Phi$ sebagai fungsi dari suhu $T$, volume $V$, dan potensial kimia $\mu$ untuk sistem umum;

b. [11 poin] fungsi partisi besar $\mathcal{Z}$ untuk sistem dua tingkat energi ini. Nyatakan $\mathcal{Z}$ dalam bentuk $\beta = 1/k_B T$, $\Delta$, dan $\mu$;

c. [5 poin] rata-rata jumlah partikel $\langle N \rangle$ dalam sistem dengan menggunakan $\mathcal{Z}$;

d. [6 poin] rata-rata entropi sistem $\langle S \rangle$ dalam sistem dengan menggunakan $\mathcal{Z}$.