ONMIPA-PT 2025 Mekanika Klasik: Bola di Atas Setengah Bola

ONMIPA-PT 2025 Mekanika Klasik: Bola di Atas Setengah Bola

Soal ONMIPA-PT 2025 tingkat nasional, bidang Mekanika Klasik.

---

Soal 2 - [30 poin]

Pada gambar di samping ini, benda bermassa $m_1$ berbentuk setengah bola pejal homogen berjari-jari $r_1$ berada pada suatu lantai licin. Di puncak setengah bola terdapat bola kecil pejal homogen bermassa $m_2$ berjari-jari $r_2 (< r_1)$. Momen inersia bola $m_2$ terhadap pusatnya adalah $\frac{2}{5}m_2r_2^2$. Mula-mula $m_2$ diberikan dorongan sangat kecil dan dilepaskan dari keadaan diam, kemudian mulai bergerak menuruni permukaan $m_1$. Sudut $\theta$ adalah sudut antara garis yang menghubungkan kedua pusat dengan garis vertikal (lihat Gambar). Koefisien gesek antara permukaan $m_2$ dengan permukaan $m_1$ adalah $\mu$. Percepatan gravitasi ke bawah sama dengan $g$.

a. (15 poin) Mula-mula $m_2$ bergerak menyusuri permukaan $m_1$ secara menggelinding murni selama waktu tertentu. Tentukan besar kecepatan $m_1$ terhadap lantai sebagai fungsi $\theta$ dinyatakan dalam $\theta$ dan konstan-konstanta lainnya. Tentukan pula besar kecepatan $m_2$ terhadap lantai sebagai fungsi $\theta$. Dari besar kecepatan $m_1$ terhadap lantai tersebut, tentukan percepatan $m_1$ terhadap lantai sebagai fungsi $\theta$.

b. (10 poin) Ketika $m_2$ terus bergerak menggelinding murni di permukaan $m_1$ dan sudut $\theta$ ($0 \leq \theta < \theta_s$) terus membesar, maka saat sudut $\theta$ mencapai nilai $\theta_s$ bola $m_2$ mulai selip (tergelincir) terhadap $m_1$. Saat keadaan ini terjadi, asumsikan bahwa gaya gesekan statik maksimum antara $m_2$ dan $m_1$ sama dengan gaya gesekan kinetik. Tentukan bentuk fungsi $F(\theta_s) = 0$ yang mengandung besaran $\theta_s$ maupun konstanta-konstanta lainnya yang memenuhi keadaan saat $m_2$ mulai selip terhadap $m_1$.

c. (3 poin) Kemudian, ketika $m_2$ mencapai sudut $\theta_l$, maka $m_2$ sepenuhnya lepas dari permukaan $m_1$. Tentukan kecepatan pusat massa $m_2$ relatif terhadap $m_1$ saat keadaan tersebut terjadi.

d. (2 poin) Ditinjau kasus khusus dari jawaban pertanyaan (a). Jika massa $m_1$ mendekati tak hingga, dari hasil yang telah diperoleh pada (a), tentukan jawaban untuk pertanyaan-pertanyaan pada (a).